点射影写像

圏論において、点全射は、集合の圏上で全射のように「振る舞う」射 である。 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

点全射の概念はローヴェアの不動点定理[ ^{1] [2]において重要な概念であり、}ウィリアム・ローヴェアが原著論文^[3]で初めて導入した。

終端オブジェクトを持つカテゴリにおいて、任意の射 に対して となる射 が存在する場合、 その 射 は点全射であるといわれます。 ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle 1}$${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle y:1\rightarrow Y}$${\displaystyle x:1\rightarrow X}$${\displaystyle f\circ x=y}$

が内のいくつかのオブジェクトに対しての形式の指数オブジェクトである場合、点全射性のより弱い（しかし技術的にはより扱いにくい）概念を定義することができます。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle B^{A}}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle \mathbf {C} }$

射が 弱点全射であるとは、任意の射に対して、任意の射に対して、 ${\displaystyle f:X\rightarrow B^{A}}$${\displaystyle g:A\rightarrow B}$${\displaystyle x:1\rightarrow X}$${\displaystyle a:1\rightarrow A}$

${\displaystyle \epsilon \circ \langle f\circ x,a\rangle =g\circ a}$

ここで、 は2 つの射 (および)の積を表し、は の射のカテゴリにおける評価写像です。 ${\displaystyle \langle -,-\rangle :A\rightarrow B\times C}$${\displaystyle A\rightarrow B}$${\displaystyle A\rightarrow C}$${\displaystyle \epsilon :B^{A}\times A\rightarrow B}$${\displaystyle \mathbf {C} }$

同様に、^[4]射を他の射の転置と考えることもできる。すると、ホム集合間の同型性により、が弱点射影的である場合、かつ が弱点射影的である場合に限って、 が弱点射影的であると言える。 ^[5]${\displaystyle f:X\rightarrow B^{A}}$${\displaystyle {\tilde {f}}:X\times A\rightarrow B}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (X\times A,B)\cong \mathrm {Hom} (X,B^{A})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\tilde {f}}}$

集合のカテゴリでは、射は関数であり、終端オブジェクトはシングルトンです。したがって、射はシングルトンから集合への関数です。関数はドメイン内のすべての要素に対して共域内の一意の要素を指定する必要があるため、 は の特定の要素の 1 つになります。したがって、各射は、それ自体の特定の要素と考えることができます。 ${\displaystyle a:1\rightarrow A}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a(x)\in A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a:1\rightarrow A}$${\displaystyle A}$

このため、射影は集合の要素の「一般化」として機能することができ、グローバル要素と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle a:1\rightarrow A}$

この対応により、点全射の定義は全射関数の定義と非常によく似ています。関数（射）が全射（点全射）であるとは、あらゆる元（あらゆる射）に対して、 （ ）となる元（射）が存在する場合をいいます。 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle y:1\rightarrow Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x:1\rightarrow X}$${\displaystyle f(x)=y}$${\displaystyle f\circ x=y}$

集合のカテゴリにおける指数オブジェクトが すべての関数の集合に他ならないことに注意すれば、弱点全射の概念もこの対応に似ています。 ${\displaystyle B^{A}}$${\displaystyle f:A\rightarrow B}$