ローソン基準

ローソン基準は、核融合研究で用いられる性能指標です。これは、核融合燃料内部で起こる核融合反応によって生成されるエネルギー量と、環境へのエネルギー損失量を比較するものです。生成量が損失量を上回ると、システムは正味のエネルギーを生成します。そのエネルギーの十分な量が燃料に捕捉されると、システムは自己持続的になり、核融合が開始した状態になります。

この概念は、ジョン・D・ローソンが1955年の機密論文^{[ 1 ]}で初めて提唱し、1957年に機密解除されて出版された^{[ 2 ]。}当初定式化されたローソン基準は、プラズマ（電子）密度neと「エネルギー閉じ込め時間」の積の最小必要値を与える_。$\displaystyle \tau _{E}}$それは正味のエネルギー出力につながる。

その後の分析により、より有用な性能指標は、密度、閉じ込め時間、プラズマ温度Tの三重積であることが示唆された。この三重積には最小必要値があり、「ローソン基準」という名称はこの値を指している可能性がある。

2021年8月8日、カリフォルニア州のローレンス・リバモア国立研究所の国立点火施設の研究者らは、実験においてローソン基準を超える核融合反応の史上初の点火に成功したことを確認した。^{[ 3 ] [ 4 ]}

ローソン基準の中心概念は、高温プラズマを使用するあらゆる核融合発電所のエネルギーバランスを検証することである。これは以下に示すとおりである。

正味出力 = 効率 × (核融合損失 − 放射損失 − 伝導損失)

1. 正味出力とは、核融合発電所において、反応プロセスを進めるために内部的に必要とされる出力を超えた余剰電力のことである。
2. 効率とは、装置を駆動するために必要なエネルギー量と、反応からエネルギーをどれだけ効率的に回収できるかを示す指標です。
3. 核融合とは、核融合反応によって生成されるエネルギーの速度のことである。
4. 放射損失とは、プラズマから放出される光（ X線を含む）として失われるエネルギーのことである。
5. 伝導損失とは、粒子がプラズマから離脱する際に失われるエネルギーのことで、粒子はエネルギーを運び去ります。

ローソンは、核融合炉には個々の粒子のエネルギーがガウス曲線に従う高温のプラズマ雲があり、プラズマの温度によって特徴付けられるマクスウェル・ボルツマン分布に従うと仮定して、核融合率を計算した。その仮定に基づいて、体積核融合方程式を使用して、生成される核融合エネルギーである第1項を推定した。^{[ 5 ]}

核融合＝燃料Aの数密度×燃料Bの数密度×断面積（温度）×反応あたりのエネルギー

1. 核融合とは、プラズマによって生成される核融合エネルギーの速度のことである。
2. 数密度とは、それぞれの燃料（場合によっては単一の燃料）の単位体積あたりの粒子密度のことである。
3. 断面積は、プラズマ温度に基づいて核融合反応が発生する確率を示す指標である。
4. 反応あたりのエネルギーとは、各核融合反応で放出されるエネルギーのことである。

この式は通常、正規分布に従うイオン集団について平均化されます。その結果は、任意の瞬間にプラズマによって生成されるエネルギー量となります。

ローソンはその後、次の式を用いて放射損失を推定した^{[ 5 ] 。}

$${\displaystyle P_{B}=1.4\times 10^{-34}\cdot n^{2}\cdot T^{1/2}\;{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {cm} ^{3}}}}$$

ここで、nは雲の数密度、 Tは温度です。ローソンは解析において伝導損失を無視しています。実際にはこれはほぼ不可能です。事実上すべてのシステムは粒子輸送によってエネルギーを失い、その過程で質量がプラズマから離れてエネルギーを運び去ります。

ローソンは、放射損失と体積核融合率を等しくすることで、重水素-三重水素（DT）反応の核融合に必要な最低温度を推定した。

${\displaystyle _{1}^{2}\mathrm {D} +\,_{1}^{3}\mathrm {T} \rightarrow \,_{2}^{4}\mathrm {He} \left(3.5\,\mathrm {MeV} \right)+\,_{0}^{1}\mathrm {n} \left(14.1\,\mathrm {MeV} \right)}$

3000万度（2.6 keV）であり、重水素-重水素（DD）反応の場合

${\displaystyle _{1}^{2}\mathrm {D} +\,_{1}^{2}\mathrm {D} \rightarrow \,_{1}^{3}\mathrm {T} \left(1.0\,\mathrm {MeV} \right)+\,_{1}^{1}\mathrm {p} \left(3.0\,\mathrm {MeV} \right)}$

1億5000万度（12.9 keV）である。^{[ 2 ] [ 6 ]}

隔離期間${\displaystyle \tau _{E}}$システムが環境にエネルギーを失う速度を測定します。エネルギー損失の速度が速いほど、${\displaystyle P_{\mathrm {loss} }}$エネルギー閉じ込め時間が短いほど、エネルギー密度が高くなります。${\displaystyle W}$（単位体積あたりのエネルギー含有量）÷電力損失密度${\displaystyle P_{\mathrm {loss} }}$（単位体積あたりのエネルギー損失率）：

${\displaystyle \tau _{E}={\frac {W}{P_{\mathrm {loss} }}}}$

核融合炉が定常状態で稼働するためには、核融合プラズマの温度を一定に保つ必要があります。そのため、核融合状態を維持するためには、プラズマが失うエネルギーと同じ速度で熱エネルギーを供給しなければなりません。このエネルギーは、反応の種類によっては核融合反応自体によって供給される場合もあれば、様々な方法で追加の加熱を行うことによって供給される場合もあります。

例として、ここではDT反応のローソン基準を導出しますが、同じ原理は他の核融合燃料にも適用できます。また、すべての種が同じ温度であること、燃料イオン以外のイオンが存在しないこと（不純物やヘリウム灰がないこと）、DとTが最適な50:50の混合比で存在することを仮定します。^イオン密度は電子密度に等しく、理想気体の法則によれば、電子とイオンを合わせたエネルギー密度は次のように与えられます。

${\displaystyle W=3nT}$

どこ${\displaystyle T}$は電子ボルト（eV）単位の温度であり、${\displaystyle n}$は粒子密度です。

音量​${\displaystyle f}$（単位体積あたりの時間あたりの反応数）の融合反応は

${\displaystyle f=n_{\mathrm {d} }n_{\mathrm {t} }\langle \sigma v\rangle ={\frac {1}{4}}n^{2}\langle \sigma v\rangle }$

どこ${\displaystyle \sigma }$は核融合断面積です。${\displaystyle v}$は相対速度であり、${\displaystyle \langle \rangle }$は、温度におけるマクスウェル速度分布の平均を表す。${\displaystyle T}$。

融解による加熱の体積速度は${\displaystyle f}$タイムズ${\displaystyle E_{\mathrm {ch} }}$荷電核融合生成物のエネルギー（中性子はプラズマの加熱に役立たない）。DT反応の場合、${\displaystyle E_{\mathrm {ch} }=3.5\,\mathrm {MeV} }$。

ローソン基準では、核融合による発熱量が損失量を上回る必要がある。

${\displaystyle fE_{\rm {ch}}\geq P_{\rm {loss}}}$

既知の量を代入すると次のようになる。

${\displaystyle {\frac {1}{4}}n^{2}\langle \sigma v\rangle E_{\rm {ch}}\geq {\frac {3nT}{\tau _{E}}}}$

この式を整理すると次のようになる。

数量${\displaystyle T/\langle \sigma v\rangle }$これは絶対最小値を持つ温度の関数です。この関数をその最小値で置き換えることで、積の絶対下限値が得られます。${\displaystyle n\tau _{E}}$これはローソン基準である。

重水素-三重水素反応の場合、物理値は少なくとも

${\displaystyle n\tau _{E}\geq 1.5\cdot 10^{20}{\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {m} ^{3}}}}$

積の最小値は、${\displaystyle T=26\,\mathrm {keV} }$。

さらに有用な性能指標は、密度、温度、および閉じ込め時間の「三重積」であるnT τ _Eです。慣性閉じ込め、ミラー閉じ込め、またはトロイダル閉じ込めのいずれであっても、ほとんどの閉じ込め概念では、密度と温度はかなり広い範囲で変化させることができますが、達成可能な最大圧力pは一定です。このような場合、核融合出力密度はp ² <σ v >/ T  ²に比例します。したがって、特定の装置から得られる最大の核融合出力は、<σ v >/ T ^{2が最大となる温度}Tで達成されます。上記の導出を続けると、次の不等式が容易に得られます。 

${\displaystyle nT\tau _{\rm {E}}\geq {\frac {12}{E_{\rm {ch}}}}\,{\frac {T^{2}}{\langle \sigma v\rangle }}}$

数量${\displaystyle {\frac {T^{2}}{\langle \sigma v\rangle }}}$また、温度の関数でもあり、絶対最小値は、よりわずかに低い温度で発生します。${\displaystyle {\frac {T}{\langle \sigma v\rangle }}}$。

DT反応の場合、最小値はT  =  14  keVで発生します。この温度領域における平均<σ v >は次のように近似できます^{[ 7 ]}

${\displaystyle \left\langle \sigma v\right\rangle =1.1\cdot 10^{-24}T^{2}\;{\frac {{\rm {m}}^{3}}{\rm {s}}}\,{\rm {,}}\quad {\rm {T\,in\,keV}}{\rm {,}}}$

したがって、 T  =  14 keVにおける三重積値の最小値 は約

${\displaystyle {\begin{matrix}nT\tau _{E}&\geq &{\frac {12\cdot 14^{2}\cdot {\rm {keV}}^{2}}{1.1\cdot 10^{-24}{\frac {{\rm {m}}^{3}}{\rm {s}}}14^{2}\cdot 3500\cdot {\rm {keV}}}}\approx 3\cdot 10^{21}{\mbox{keV s}}/{\mbox{m}}^{3}\\\end{matrix}}(3.5\cdot 10^{28}{\mbox{K s}}/{\mbox{m}}^{3})}$

この数値は、最新世代の装置がそれに近い値を示しているものの、どの原子炉でもまだ達成されていません。JT -60は1.53 × 10 ²¹ keV.sm ⁻³を報告しています。^{[ 8 ]}例えば、TFTRは生成可能な温度でローソン効果を達成するために必要な密度とエネルギー寿命を達成していますが、それらの温度を同時に生成することはできません。ITERは両方を達成することを目指しています。

トカマクの場合、三重積を用いる特別な動機がある。経験的に、エネルギー閉じ込め時間 τE_はn1 ^/3 / P2  ^/3にほぼ比例することがわかっている。最適温度付近で点火されたプラズマでは、加熱電力Pは核融合電力に等しく、したがってn2T2^に比例する。三重積は次のようにスケーリングする^。 

${\displaystyle {\begin{matrix}nT\tau _{E}&\propto &nT\left(n^{1/3}/P^{2/3}\right)\\&\propto &nT\left(n^{1/3}/\left(n^{2}T^{2}\right)^{2/3}\right)\\&\propto &T^{-1/3}\\\end{matrix}}}$

三重積は温度にほとんど依存せず、T  ^{- 1/3}に比例する。このため、三重積は閉じ込め方式の効率を測る適切な指標となる。

ローソン基準は慣性閉じ込め核融合（ICF）と磁気閉じ込め核融合（MCF）の両方に適用されるが、慣性閉じ込めの場合、別の形で表現する方がより有用である。慣性閉じ込め時間の良い近似値${\displaystyle \tau _{E}}$は、イオンが熱速度で距離Rを移動するのにかかる時間である。

${\displaystyle v_{th}={\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}T}{m_{i}}}}}$

ここで、m _{i は}平均イオン質量を表す。慣性閉じ込め時間${\displaystyle \tau _{E}}$したがって、次のように近似できる。

${\displaystyle {\begin{matrix}\tau _{E}&\approx &{\frac {R}{v_{th}}}\\\\&=&{\frac {R}{\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}T}{m_{i}}}}}\\\\&=&R\cdot {\sqrt {\frac {m_{i}}{k_{\rm {B}}T}}}{\mbox{ .}}\\\end{matrix}}}$

上記の式を関係式（１）に代入すると、

${\displaystyle {\begin{matrix}n\tau _{E}&\approx &n\cdot R\cdot {\sqrt {\frac {m_{i}}{k_{B}T}}}\geq {\frac {12}{E_{\rm {ch}}}}\,{\frac {k_{\rm {B}}T}{\langle \sigma v\rangle }}\\\\n\cdot R&\gtrapprox &{\frac {12}{E_{\rm {ch}}}}\,{\frac {\left(k_{\rm {B}}T\right)^{3/2}}{\langle \sigma v\rangle \cdot m_{i}^{1/2}}}\\\\n\cdot R&\gtrapprox &{\frac {\left(k_{\rm {B}}T\right)^{3/2}}{\langle \sigma v\rangle }}{\mbox{ .}}\\\end{matrix}}}$

この積は、 T  ^3/2 /<σv>の最小値に関連する値よりも大きくなければなりません。同じ要件は、従来、質量密度ρ  =  < nm _i >で表されます。

${\displaystyle \rho \cdot R\geq 1\mathrm {g} /\mathrm {cm} ^{2}}$

固体DTの密度（0.2 g/cm³）でこの基準を満たすには、^あり得ないほど大きなエネルギーのレーザーパルスが必要となる。必要なエネルギーが核融合プラズマの質量に比例すると仮定すると（E_レーザー～ρR³～ρ⁻²）、燃料を固体密度の10³倍または10⁴倍に圧縮すると^、必要な^{エネルギー}は10⁶倍または10⁸倍に減少し^、現実^的な範囲になる。10³倍に圧縮すると^{、圧縮後の密度は200 g/ cm³}になり、圧縮後の半径は0.05 mmまで小さくできる。圧縮前の燃料の半径は0.5 mmになる。圧縮中に質量の大部分がアブレーションされるため、最初のペレットは恐らく2倍の大きさになるだろう。  

核融合出力と密度の積は、磁気閉じ込めの最適温度を決定するための優れた指標ですが、慣性閉じ込めの場合は、燃料の燃焼率の方がおそらく有用です。燃焼率は、比反応速度 ( n ² < σv >) と閉じ込め時間 ( T  ^-1/2に比例) を粒子密度nで割った値に比例するはずです。

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{burn-up fraction }}&\propto &n^{2}\langle \sigma v\rangle T^{-1/2}/n\\&\propto &\left(nT\right)\langle \sigma v\rangle /T^{3/2}\\\end{matrix}}}$

したがって、慣性閉じ込め核融合の最適温度は<σv>/ T ^3/2を最大化する温度であり、これは磁気閉じ込めの最適温度よりもわずかに高い。

ローソンの分析は、熱平衡プラズマにおける核融合速度とエネルギー損失率に基づいている。熱平衡プラズマを使用せず、個々のイオンを直接必要なエネルギーまで加速する核融合装置も存在する。最もよく知られている例としては、ミグマ、フューザー、ポリウェルなどが挙げられる。

ローソンの分析は、フューザーに適用される場合、伝導損失と放射損失が正味出力を達成する上での主要な障害であるという議論として使用されます。フューザーは電圧降下を利用してイオンを加速および衝突させ、核融合を引き起こします。^{[ 9 ]}電圧降下はワイヤーケージによって生成され、これらのケージは粒子を伝導します。

ポリウェルは、この設計を改良したもので、導通損失の原因となるワイヤーケージを取り除くことで導通損失を低減するように設計されている。^{[ 10 ]}とはいえ、放射線は依然として大きな障害であると主張されている。^{[ 11 ]}

• 核融合エネルギー利得係数（Q）

^aこれらの仮定を緩和するのは簡単です。最も難しい問題は、どのように定義するかです。${\displaystyle n}$イオンと電子の密度と温度が異なる場合。これはイオンによるエネルギー生成と損失の計算であり、プラズマ閉じ込めの概念にはプラズマの圧力力が含まれなければならないことを考慮すると、有効（電子）密度を定義するのが適切と思われる。${\displaystyle n}$（全）圧力を通して${\displaystyle p}$として${\displaystyle n=p/2T_{\mathrm {i} }}$要因${\displaystyle 2}$含まれている理由は${\displaystyle n}$通常は電子の密度のみを指しますが、${\displaystyle p}$ここで、は全圧を指します。イオン密度が2つの種の場合${\displaystyle n_{1,2}}$原子番号${\displaystyle Z_{1,2}}$イオン温度${\displaystyle T_{\mathrm {i} }}$電子温度${\displaystyle T_{\mathrm {e} }}$核融合出力は、以下の燃料混合比で最大化されることが容易に示せる。${\displaystyle n_{1}/n_{2}=(1+Z_{2}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })/(1+Z_{1}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })}$. の値${\displaystyle n\tau }$、${\displaystyle nT\tau }$、電力密度には係数を乗じる必要がある${\displaystyle (1+Z_{1}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })\cdot (1+Z_{2}T_{\mathrm {e} }/T_{\mathrm {i} })/4}$例えば、陽子とホウ素（${\displaystyle Z=5}$燃料として、${\displaystyle 3}$式には を含める必要があります。一方、低温電子の場合、式はすべて で割る必要があります。${\displaystyle 4}$（追加要素なし）${\displaystyle Z>1}$)

• 数学的導出、2019年にオリジナルからアーカイブ済み