ランデンの変容

ランデン変換は楕円積分のパラメータの写像であり、楕円関数の効率的な数値評価に役立ちます。これはもともとジョン・ランデンによって考案され、カール・フリードリヒ・ガウスによって独立に再発見されました。^[1]

第一種不完全楕円 積分Fは

${\displaystyle F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}},}$

ここで、はモジュラー角である。ランデン変換によれば、、、がかつとなるような場合、 ^[2]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha _{0}}$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \varphi _{0}}$${\displaystyle \varphi _{1}}$${\displaystyle (1+\sin \alpha _{1})(1+\cos \alpha _{0})=2}$${\displaystyle \tan(\varphi _{1}-\varphi _{0})=\cos \alpha _{0}\tan \varphi _{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\varphi _{0}\setminus \alpha _{0})&=(1+\cos \alpha _{0})^{-1}F(\varphi _{1}\setminus \alpha _{1})\\&={\tfrac {1}{2}}(1+\sin \alpha _{1})F(\varphi _{1}\setminus \alpha _{1}).\end{aligned}}}$

ランデン変換も同様に楕円係数とその補数で表すことができます。 ${\displaystyle k=\sin \alpha }$${\displaystyle k'=\cos \alpha }$

ガウスの定式化では、積分の値は

${\displaystyle I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )+b^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta }$

とをそれぞれ算術平均と幾何平均に置き換えても変化しない。つまり、 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle a_{1}={\frac {a+b}{2}},\qquad b_{1}={\sqrt {ab}},}$

${\displaystyle I_{1}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a_{1}^{2}\cos ^{2}(\theta )+b_{1}^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta .}$

したがって、

${\displaystyle I={\frac {1}{a}}K\left({\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right),}$

${\displaystyle I_{1}={\frac {2}{a+b}}K\left({\frac {a-b}{a+b}}\right).}$

ランデンの変化から我々は結論する

${\displaystyle K\left({\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)={\frac {2a}{a+b}}K\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)}$

そして。 ${\displaystyle I_{1}=I}$

変換はを代入して積分することで実現できる。まず を代入して積分を代数形式にすると便利で、次 のようになる。${\displaystyle \theta =\arctan(x/b)}$${\displaystyle d\theta =(\cos ^{2}(\theta )/b)dx}$

${\displaystyle I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )+b^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta =\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}}}\,dx}$

さらに置換すると、望ましい結果が得られます。 ${\displaystyle x=t+{\sqrt {t^{2}+ab}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}}}\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2{\sqrt {\left(t^{2}+\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}\right)(t^{2}+ab)}}}}\,dt\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {\left(t^{2}+\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}\right)\left(t^{2}+\left({\sqrt {ab}}\right)^{2}\right)}}}\,dt\end{aligned}}}$

この後者のステップは、根号を次のように書くことで容易になります。

${\displaystyle {\sqrt {(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}}=2x{\sqrt {t^{2}+\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}}}$

そして無限小は

${\displaystyle dx={\frac {x}{\sqrt {t^{2}+ab}}}\,dt}$

2 つの要素の間で の要素が認識され、キャンセルされるようになります。 ${\displaystyle x}$

変換を複数回繰り返すと、パラメータとが最初は異なる桁数であったとしても、共通の値に非常に急速に収束します。極限値は、およびの算術幾何平均と呼ばれます。極限では、被積分関数は定数になるため、積分は自明です。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \operatorname {AGM} (a,b)}$

${\displaystyle I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )+b^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\operatorname {AGM} (a,b)}}\,d\theta ={\frac {\pi }{2\operatorname {AGM} (a,b)}}}$

この積分はルジャンドルの第一種完全楕円積分の倍数としても認識される。${\displaystyle b^{2}=a^{2}(1-k^{2})}$

${\displaystyle I={\frac {1}{a}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta ={\frac {1}{a}}F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)={\frac {1}{a}}K(k)}$

したがって、任意の に対して、算術幾何平均と第1種完全楕円積分は次のように関係付けられる。 ${\displaystyle a}$

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {AGM} (1,{\sqrt {1-k^{2}}})}}}$

逆変換（逆算術幾何平均反復）を実行すると、

${\displaystyle a_{-1}=a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\,}$

${\displaystyle b_{-1}=a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\,}$

${\displaystyle \operatorname {AGM} (a,b)=\operatorname {AGM} \left(a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\right)\,}$

この関係は次のように記述できる。

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {AGM} (1+k,1-k)}}\,}$

これは、任意の引数のペアの AGM に対して解くことができます。

${\displaystyle \operatorname {AGM} (u,v)={\frac {\pi (u+v)}{4K\left({\frac {u-v}{v+u}}\right)}}.}$

• ルイス・V・キング著「楕円関数と積分の直接数値計算について」（ケンブリッジ大学出版、1924年）