クロネッカーの定理

数学において、クロネッカーの定理は、レオポルド・クロネッカー (1884) によって提唱された、ディオファントス近似に関する定理です。

クロネッカーの近似定理は、19 世紀末に L. クロネッカーによって初めて証明されました。20世紀後半以降、 n トーラスとマーラー測度の考え方と関連していることが明らかになりました。物理システムの観点から見ると、恒星の周りを均一に回る円軌道上の惑星は、その軌道周期の間に正確な依存関係がない限り、時間の経過とともにすべての配置をとることになります。

クロネッカーの定理は、 1 ≤ i ≤ n の複数の実数x _iに適用されるディオファントス近似 の結果であり、ディリクレの近似定理を複数の変数に一般化したものです。

古典的なクロネッカー近似定理は次のように定式化されます。

実数n組と が与えられた場合、条件:${\displaystyle \alpha _{i}=(\alpha _{i1},\dots ,\alpha _{in})\in \mathbb {R} ^{n},i=1,\dots ,m}$${\displaystyle \beta =(\beta _{1},\dots ,\beta _{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \forall \epsilon >0\,\exists q_{i},p_{j}\in \mathbb {Z} :{\biggl |}\sum _{i=1}^{m}q_{i}\alpha _{ij}-p_{j}-\beta _{j}{\biggr |}}\epsilon ,1\leq j\leq n}$

が成り立つのは、${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{n}\in \mathbb {Z} ,\ i=1,\dots ,m}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\alpha _{ij}r_{j}\in \mathbb {Z} ,\ \ i=1,\dots ,m\ ,}$

その数値も整数です。${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\beta _{j}r_{j}}$

より平易な言葉で言えば、最初の条件は、タプルがs (整数係数を持つ) と整数ベクトル の線形結合によって任意に近似できることを述べています。${\displaystyle \beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$${\displaystyle \alpha_{i}}$

およびの場合、クロネッカーの近似定理は次のように述べられる。^[1]無理数およびを持つ任意のに対して、およびを持つ整数が存在し、 ${\displaystyle m=1}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle \alpha,\beta,\epsilon\in\mathbb{R}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q>0}$

${\displaystyle |\alpha qp-\beta |<\epsilon .}$

N個の数の場合、単一のN組とトーラスの点Pとしてとらえられる。

T = R ^N /Z ^N、

Pによって生成される部分群 < P >の閉包は有限であるか、または Tに含まれるトーラスT′である。元のクロネッカーの定理(レオポルド・クロネッカー、1884) は、

T′ = T、

つまり、数x _iと 1は有理数に対して線形独立でなければならない、という条件も十分です。ここで、 x _iと 1 の非ゼロの有理数係数を持つ線形結合がゼロであれば、係数は整数として取られ、群Tの自明な指標以外の指標χ はP上で値 1 を取ることが容易にわかります。ポントリャーギン双対性により、T′ はχ の核に含まれるため、T と等しくありません。

実際、ここでポントリャーギン双対性を徹底的に利用すると、クロネッカーの定理全体が、< P >の閉包をχの核と

χ( P ) = 1です。

これにより、Tの単一生成閉部分群(位相的な意味で単一の生成元を持つもの) と、特定の点を含む核を持つ指標の集合との間の(反トーン)ガロア接続が得られます。すべての閉部分群が単一生成として発生するわけではありません。たとえば、単位元の連結成分として次元 ≥ 1 のトーラスを持ち、連結されていない部分群は、そのような部分群にはなり得ません。

この定理は、 Pの倍数mP が閉包をどの程度（均一に）満たすかという疑問を残します。1 次元の場合、分布は等分布定理により均一です。

• ワイルの基準
• ディリクレの近似定理

• Kronecker、L. (1884)、「Näherungsweise ganzzahlige Auflösung lineer Gleichungen」、Berl。ベル。 : 1179–1193、1271–1299
• Onishchik, AL (2001) [1994]、「クロネッカーの定理」、数学百科事典、EMS Press