コーンの不平等

数学的解析において、コーンの不等式はベクトル場の勾配に関する不等式であり、次の古典的な定理を一般化します。ベクトル場の勾配がすべての点で歪対称である場合、勾配は一定の歪対称行列に等しくなければなりません。コーンの定理はこのステートメントの定量的なバージョンであり、直感的には、ベクトル場の勾配が平均して歪対称行列の空間から遠くない場合、勾配は特定の歪対称行列から遠くてはならないことを示しています。したがって、コーンの不等式が一般化するステートメントは、剛性の特殊なケースとして生じます。

（線形）弾性理論では、勾配の対称部分は、弾性体が与えられたベクトル値関数によって変形されるときに受けるひずみの尺度です。したがって、不等式は線形弾性理論における事前推定として重要なツールです。

Ω を^{n 次元ユークリッド空間 R n （ n ≥ 2 ）の開連結領域とする。H 1} ( Ω )を^、 Ω上 のすべてのベクトル場v = ( v 1 , ... , v n )と その（^第1  ）^弱導関数がルベーグ空間L ² (Ω)に含まれるソボレフ空間とする。i番目^の成分に関する偏導関数を∂ _iで表すと、H ¹ (Ω)のノルムは次のように表される。

${\displaystyle \|v\|_{H^{1}(\Omega )}:=\left(\int _{\Omega }\sum _{i=1}^{n}|v^{i}(x)|^{2}\,\mathrm {d} x+\int _{\Omega }\sum _{i,j=1}^{n}|\partial _{j}v^{i}(x)|^{2}\,\mathrm {d} x\right)^{1/2}.}$

すると、 ΩのKorn定数として知られる（最小の）定数C  ≥ 0が存在し、すべてのv  ∈  H ¹ (Ω)に対して、

ここでeは対称化された勾配を表し、

${\displaystyle e_{ij}v={\frac {1}{2}}(\partial _{i}v^{j}+\partial _{j}v^{i})。}$

不等式(1)はコーンの不等式として知られています。

• ハーディ不平等
• ポアンカレ不等式

• シオラネスク、ドイナ。オレイニク、オルガ・アルセニエヴナ; Tronel、Gérard (1989)、「フレーム タイプの構造と接合に関する Korn の不等式について」、Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences、Série I: Mathématiques、309 (9): 591–596、MR  1053284、Zbl  0937.35502。
• ホーガン、コーネリアス O. (1995)、「コーン不等式と連続体力学におけるその応用」、SIAM Review、37 (4): 491–511、doi :10.1137/1037123、ISSN  0036-1445、MR  1368384、Zbl  0840.73010。
• オレイニク、オルガ・アルセニエヴナ;コンドラチェフ、ウラジミール・アレクサンドロヴィッチ (1989)、「コーンの不等式について」、科学アカデミー、シリーズ I: 数学、308 (16): 483–487、MR  0995908、Zbl  0698.35067。
• Oleinik、Olga A. (1992)、「コーンのタイプの不等式と弾性への応用」、Amaldi、E .アメリオ、Ｌ．フィケラ、G . ;グレゴリー、T.グリオーリ、G.マルティネリ、E .モンタレンティ、G.ピネドリ、A.サルヴィーニ, ジョルジョ; Scorza Dragoni、Giuseppe (編)、Convegno internazionale in Memoria di Vito Volterra (1990 年 10 月 8 ～ 11 日)、Atti dei Convegni Lincei (イタリア語)、vol. 92、ローマ:国立科学博物館、183–209 ページ、ISSN  0391-805X、MR  1783034、Zbl  0972.35013、オリジナルから 2017 年 1 月 7 日にアーカイブされ、2014 年 7 月 27 日に取得。

• Voitsekhovskii, MI (2001) [1994]、「Korn 不等式」、数学百科事典、EMS プレス