コルモゴロフの三級数定理

確率論において、アンドレイ・コルモゴロフにちなんで名付けられたコルモゴロフの三級数定理は、確率分布の特性を含む3つの異なる級数の収束の観点から、ランダム変数の無限級数がほぼ確実に収束するための基準を与える。コルモゴロフの三級数定理は、クロネッカーの補題と組み合わせることで、大数の強い法則を比較的簡単に証明するために使用できる。^[1]

を独立したランダム変数とします。ランダム級数がにほぼ確実に収束するのは、ある に対して次の条件が成立する場合であり、任意の に対して次の条件が成立する場合のみです。 ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }X_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle A>0}$${\displaystyle A>0}$

条件 (i) とボレル・カンテリは、 が大きい場合、ほぼ確実に となることを示しています。したがって、が収束するのは、 が収束する場合に限ります。 条件 (ii)-(iii) とコルモゴロフの二級数定理は、がほぼ確実に収束することを示${\displaystyle X_{n}=Y_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }X_{n}}$${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }Y_{n}}$${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }Y_{n}}$

がほぼ確実に収束すると仮定します。 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }X_{n}}$

条件 (i) がなければ、ボレル-カンテリの法則により、無限個の に対してほぼ確実に となるようなものが存在することになります。しかし、その場合、級数は発散してしまいます。したがって、条件 (i) を満たしている必要があります。 ${\displaystyle A>0}$${\displaystyle \{|X_{n}|\geq A\}}$${\displaystyle n}$

条件 (iii) は条件 (ii) を意味することがわかります。コルモゴロフの二級数定理と条件 (i) をこのケースに適用すると、の収束が示されます。したがって、 の収束が与えられれば、 は 収束するため、条件 (ii) が暗示されます。 ${\displaystyle A=1}$${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(Y_{n}-\mathbb {E} [Y_{n}])}$${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }Y_{n}}$${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathbb {E} [Y_{n}]}$

したがって、条件 (iii) の必要性を証明するだけで、完全な結果が得られます。これは 、各 に対して、およびがIIDである級数 について条件 (iii) を確認することと同等です。つまり、 は2 で制限され、ほぼ確実に収束し、 で となるランダム変数のシーケンスであるため、という仮定を使用することです。したがって、 が収束する場合は も収束することを確認したいと思います。これは、マルチンゲール数列の増分に等しい加数と同じ条件 ( 、分散の級数は収束し、加数は で制限される) を持つ、マルチンゲール理論からのより一般的な結果の特殊なケースです。^{[2] [3] [4]}${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }Z_{n}=\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(Y_{n}-Y'_{n} )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Y_{n}}$${\displaystyle Y'_{n}}$${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{n}]=0}$${\displaystyle Z_{n}}$${\displaystyle \mathrm {var} (Z_{n})=2\mathrm {var} (Y_{n})}$${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }Z_{n}}$${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {var} (Z_{n})}$${\displaystyle \mathbb {E} [Z_{n}]=0}$

定理の例として、ランダムな符号を持つ調和級数の例を考えてみましょう。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\pm {\frac {1}{n}}.}$

ここで、「」は、各項が、それぞれ の確率でまたはのいずれかのランダムな符号で取られ、すべてのランダムな符号が独立に選択されることを意味します。定理では、 が、等しい確率で値とを取るランダム変数を表します。最初の 2 つの級数の和は 0 であり、var(Y _n )= です。定理の条件は満たされるため、ランダムな符号を持つ調和級数はほぼ確実に収束します。一方、ランダムな符号を持つ (たとえば) 平方根の逆数の類似の級数、つまり ${\displaystyle \pm}$${\displaystyle 1/n}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 1/2,\ 1/2}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle 1/n}$${\displaystyle -1/n}$${\displaystyle A=2}$${\displaystyle n^{-2}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\pm {\frac {1}{\sqrt {n}}},}$

はほぼ確実に発散します。なぜなら定理の条件 (3) はどの A に対しても満たされないからです。これは、収束する符号が交互に変わる類似の級数 の挙動とは異なることに注意してください。 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}/{\sqrt {n}}}$