コルモゴロフの二級数定理

確率論において、コルモゴロフの二級数定理は、ランダム級数の収束についての結果である。これはコルモゴロフの不等式から導かれ、大数の強法則の証明の1つとして使用される。

が に収束し、が に収束するような、期待値と分散 を持つ独立したランダム変数であるとします。この場合、 はほぼ確実に に収束します。 ${\displaystyle \left(X_{n}\right)_{n=1}^{\infty}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \left[X_{n}\right]=\mu _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {Var} \left(X_{n}\right)=\sigma _{n}^{2}}$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{n}^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }X_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

WLOG と仮定します。 を設定すると、確率 1 で 次のようになります。${\displaystyle \mu_{n}=0}$${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}X_{n}}$${\displaystyle \limsup _{N}S_{N}-\liminf _{N}S_{N}=0}$

すべての に対して、 ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$$${\displaystyle \limsup _{N\to \infty }S_{N}-\liminf _{N\to \infty }S_{N}=\limsup _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)-\liminf _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)\leq 2\max _{k\in \mathbb {N} }\left|\sum _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|}$$

したがって、すべてのおよびに対して、 ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \epsilon >0}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\limsup _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)-\liminf _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)\geq \epsilon \right)&\leq \mathbb {P} \left(2\max _{k\in \mathbb {N} }\left|\sum _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|\geq \epsilon \ \right)\\&=\mathbb {P} \left(\max _{k\in \mathbb {N} }\left|\sum _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|\geq {\frac {\epsilon }{2}}\ \right)\\&\leq \limsup _{N\to \infty }4\epsilon ^{-2}\sum _{i=m+1}^{m+N}\sigma _{i}^{2}\\&=4\epsilon ^{-2}\lim _{N\to \infty }\sum _{i=m+1}^{m+N}\sigma _{i}^{2}\end{aligned}}}$$

2 番目の不等式はコルモゴロフの不等式によるものです。

が収束すると仮定すると、任意の に対して、のとき最後の項は 0 に近づくことがわかります。 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{n}^{2}}$${\displaystyle m\to \infty }$${\displaystyle \epsilon >0}$

• ダレット、リック。確率：理論と例。ダックスベリー上級シリーズ、第3版、トムソンブルックス/コール、2005年、セクション1.8、pp.60-69。
• M. Loève,確率論, プリンストン大学出版局 (1963) pp. 16.3節
• W. フェラー、確率論とその応用入門、2、Wiley (1971) pp. Sect. IX.9