自己組織化マップ

自己組織化マップ（SOM ）または自己組織化特徴マップ（SOFM）は、データのトポロジー構造を維持しながら、高次元データセットの低次元（通常は2次元）表現を生成するために使用される教師なし機械学習手法です。たとえば、次のようなデータセットの場合、 $p$ 測定された変数 $n$ 観測値は、変数の値が類似している観測値のクラスターとして表現できます。これらのクラスターは、近接するクラスター内の観測値の方が、遠位のクラスター内の観測値よりも類似した値を持つように、2次元の「マップ」として視覚化できます。これにより、高次元データの視覚化と分析が容易になります。

SOMは人工ニューラルネットワークの一種ですが、他の人工ニューラルネットワークで使用されるエラー訂正学習（例えば、勾配降下法によるバックプロパゲーション）ではなく、競合学習を使用してトレーニングされます。SOMは1980年代にフィンランドの教授テウヴォ・コホネンによって導入されたため、コホネンマップまたはコホネンネットワークと呼ばれることもあります。^[¹^]^[²^]コホネンマップまたはネットワークは、1970年代の神経系の生物学的モデル^[³^]と1950年代のアラン・チューリングに遡る形態形成モデル^[⁴^]に基づいて構築された、計算上便利な抽象化です。SOMは、体のさまざまな部分について、感覚機能の処理に特化した人間の脳の領域と比率の神経学的「マップ」に基づいて、人間の体の歪んだ表現である皮質ホムンクルスを彷彿とさせる内部表現を作成します。

概要

自己組織化マップは、ほとんどの人工ニューラルネットワークと同様に、トレーニングとマッピングという2つのモードで動作します。まず、トレーニングでは、入力データセット（「入力空間」）を使用して、入力データの低次元表現（「マップ空間」）を生成します。次に、マッピングでは、生成されたマップを使用して追加の入力データを分類します。

トレーニングの目標は、p次元の入力空間をn次元のマップ空間として表現することです。ここで p > n です。具体的には、p個の変数を持つ入力空間はp次元を持つと言われます。マップ空間は、「ノード」または「ニューロン」と呼ばれるコンポーネントで構成され、これらは2 次元の六角形または長方形のグリッドとして配置されます。^{[ 5 ]}ノードの数とその配置は、データの分析と探索のより大きな目標に基づいて事前に指定されます。

マップ空間内の各ノードには、「重み」ベクトルが関連付けられています。この重みベクトルは、入力空間におけるノードの位置を表します。マップ空間内のノードは固定されたままですが、学習は、マップ空間から誘導されるトポロジーを損なうことなく、重みベクトルを入力データに向かって移動させること（ユークリッド距離などの距離指標を小さくすること）によって行われます。学習後、マップは、入力空間ベクトルに最も近い重みベクトル（最小の距離指標）を持つノードを見つけることで、入力空間の追加の観測値を分類するために使用できます。

学習アルゴリズム

自己組織化マップにおける学習の目標は、ネットワークの異なる部分が特定の入力パターンに対して同様に反応するようにすることです。これは、人間の脳の大脳皮質の別々の部分で視覚、聴覚、またはその他の感覚情報がどのように処理されるかに部分的に動機付けられています。^[⁶^]

自己組織化マップの学習の図解。青い塊は学習データの分布を表し、小さな白い円盤はその分布から抽出された現在の学習データです。最初は（左）、SOMノードはデータ空間に任意に配置されます。学習データに最も近いノード（黄色で強調表示）が選択されます。このノードは学習データに向かって移動し、グリッド上の隣接ノードも（程度は小さいものの）同様に移動します。多くの反復の後、グリッドはデータ分布に近似するようになります（右）。

ニューロンの重みは、小さなランダムな値で初期化されるか、2つの最大の主成分固有ベクトルによって張られる部分空間から均等にサンプリングされます。後者の方法では、初期重みがすでにSOMの重みの良い近似を与えるため、学習がはるかに速くなります。^{[ 7 ]}

ネットワークには、マッピング時に想定されるベクトルの種類をできる限り忠実に表す、多数のサンプルベクトルを入力する必要があります。これらのサンプルは通常、反復処理として複数回入力されます。

このトレーニングでは、競合学習が利用されます。トレーニング例がネットワークに入力されると、すべての重みベクトルとのユークリッド距離が計算されます。入力に最も類似した重みベクトルを持つニューロンは、ベストマッチングユニット（BMU）と呼ばれます。BMUとSOMグリッド内でそれに近いニューロンの重みは、入力ベクトルに向かって調整されます。変化の大きさは、時間とともに、またBMUからのグリッド距離とともに減少します。重みベクトルW _v (s)を持つニューロンvの更新式は次のとおりです。

W_{v}(s+1)=W_{v}(s)+\theta (u,v,s)\cdot \alpha (s)\cdot (D(t)-W_{v}(s))

、

ここで、 sはステップインデックス、tはトレーニングサンプルのインデックス、uは入力ベクトルD ( t )の BMU のインデックス、 α ( s ) は単調減少学習係数、θ ( u , v , s ) はステップsにおけるニューロン u とニューロンvの間の距離を示す近傍関数です。^[⁸^]実装によっては、t はトレーニングデータセットを体系的にスキャンしたり ( tは 0、1、2... T -1 で、これを繰り返します。T はトレーニングサンプルのサイズです)、データセットからランダムに抽出したり (ブートストラップサンプリング)、他のサンプリング方法 (ジャックナイフ法など) を実装したりできます。

近傍関数θ ( u , v , s ) (横方向相互作用関数とも呼ばれる) は、BMU (ニューロンu ) とニューロンvの間のグリッド距離に依存します。最も単純な形式では、BMU に十分近いすべてのニューロンに対して 1、それ以外のニューロンに対して 0 ですが、ガウス関数やメキシカンハット^{[ 9 ]}関数もよく使われます。関数形式に関係なく、近傍関数は時間とともに縮小します。^{[ 6 ]}最初は近傍が広いため、自己組織化はグローバルスケールで行われます。近傍がわずか数個のニューロンに縮小すると、重みは局所的な推定値に収束します。一部の実装では、学習係数αと近傍関数θはs の増加とともに着実に減少しますが、他の実装 (特にtがトレーニングデータセットをスキャンする場合) では、 Tステップごとに段階的に減少します。

このプロセスは、各入力ベクトルに対して（通常は大きな）サイクル数λだけ繰り返されます。ネットワークは最終的に、出力ノードを入力データセット内のグループまたはパターンに関連付けます。これらのパターンに名前を付けることができれば、その名前を学習済みネットワーク内の関連付けられたノードに付けることができます。

マッピングの過程では、最終的に1つのニューロンが勝者となります。それは、入力ベクトルに最も近い重みベクトルを持つニューロンです。これは、入力ベクトルと重みベクトルの間のユークリッド距離を計算することで簡単に判断できます。

本稿では入力データをベクトルとして表現することに重点を置いてきたが、デジタル的に表現可能で、適切な距離尺度を持ち、学習に必要な演算が可能なあらゆる種類のオブジェクトを自己組織化マップの構築に用いることができる。これには、行列、連続関数、あるいは他の自己組織化マップも含まれる。

アルゴリズム

マップ内のノード重みベクトルをランダム化する
のために $s=0,1,2,...,\lambda$ $s=0,1,2,...,\lambda$
1. 入力ベクトルをランダムに選択する ${D}(t)$
2. 入力ベクトルに最も近いマップ上のノードを見つけます。このノードが最適マッチングユニット（BMU）です。これをで表します。 $u$
3. 各ノードについて $v$ 入力ベクトルに近づけることで、そのベクトルを更新します。 $W_{v}(s+1)=W_{v}(s)+\theta (u,v,s)\cdot \alpha (s)\cdot (D(t)-W_{v}(s))$

変数名の意味は以下のとおりです（太字はベクトル）。

$s$ 現在のイテレーション
$\lambda$ 反復回数の制限
$t$ は、入力データセット内のターゲット入力データベクトルのインデックスです。 $\mathbf {D}$
${D}(t)$ ターゲット入力データベクトルです
$v$ これはマップ内のノードのインデックスです。
$\mathbf {W} _{v}$ はノードの現在の重みベクトルです $v$
$u$ これは、マップ内で最も一致するユニット（BMU）のインデックスです。
$\theta (u,v,s)$ 近隣機能とは、
$\displaystyle \alpha (s)$ これは学習率スケジュールです。

重要な設計上の選択肢は、SOMの形状、近傍関数、および学習率スケジュールです。近傍関数の考え方は、BMUが最も頻繁に更新され、そのすぐ隣のマップはそれより少し更新頻度が低く、といった具合に更新頻度が高くなるようにすることです。学習率スケジュールの考え方は、マップの更新頻度が最初は高く、徐々に更新頻度が下がっていくようにすることです。

例えば、正方形のグリッドを使用してSOMを学習したい場合は、次のようにインデックス付けできます。 $(i,j)$ 両方 $i,j\in 1:N$ 近隣機能を使用すると、BMU が完全に更新され、最も近い近隣が半分更新され、さらにその近隣がさらに半分更新される、といったように設定できます。 $\theta ((i,j),(i',j'),s)={\frac {1}{2^{|ii'|+|jj'|}}}={\begin{cases}1&{\text{if }}i=i',j=j'\\1/2&{\text{if }}|ii'|+|jj'|=1\\1/4&{\text{if }}|ii'|+|jj'|=2\\\cdots &\cdots \end{cases}}$ そして、単純な線形学習率スケジュールを使用できます $\alpha (s)=1-s/\lambda$ 。

特に注目すべきは、更新レートはユークリッド空間内の点の位置には依存せず、SOM自体内の点の位置のみに依存するということです。例えば、点 $(1,1),(1,2)$ SOM上では点が近いため、ユークリッド空間上で離れていても常に同様の方法で更新されます。対照的に、点が離れていても、 $(1,1),(1,100)$ 最終的に互いに重なり合う場合（SOMが折りたたまれたタオルのように見える場合など）、それらは同様の方法で更新されません。

代替アルゴリズム

マップのノードの重みベクトルをランダム化する
入力データセット内の各入力ベクトルを走査します。
1. マップ内の各ノードをたどる
  1. 入力ベクトルとマップのノードの重みベクトルとの類似性を求めるには、ユークリッド距離の公式を使用します。
  2. 最小距離を示すノードを追跡します（このノードが最適マッチングユニット（BMU）です）。
2. BMU近傍のノード（BMU自体を含む）を、入力ベクトルに近づけるように更新する。
  1. $W_{v}(s+1)=W_{v}(s)+\theta (u,v,s)\cdot \alpha (s)\cdot (D(t)-W_{v}(s))$
増加 $s$ そしてステップ2から繰り返します $s<\lambda$

初期化オプション

最終的な重みの適切な近似値として初期重みを選択することは、自己組織化マップを含む人工ニューラルネットワークのすべての反復法にとってよく知られた問題です。Kohonen は当初、重みのランダム初期化を提案しました。^{[ 10 ]} (このアプローチは、上記のアルゴリズムに反映されています。) より最近では、最初の主成分の空間から初期マップの重みを選択する主成分初期化が、結果の正確な再現性のために人気になっています。^{[ 11 ]}

しかし、一次元マップに対するランダム初期化と主成分初期化を注意深く比較したところ、主成分初期化の利点は普遍的ではないことがわかりました。最適な初期化方法は、特定のデータセットの幾何学的形状に依存します。データセットを近似する主曲線が第一主成分に一元的かつ線形に投影できる場合（準線形セット）、主成分初期化が（一次元マップの場合）好ましいことがわかりました。しかし、非線形データセットの場合は、ランダム初期化の方が優れたパフォーマンスを発揮しました。^{[ 12 ]}

解釈

データ近似のための1次元SOMと主成分分析（PCA）。SOMは20個のノードを持つ赤い破線で、正方形が描かれています。最初の主成分は青い線で示されています。データポイントは小さな灰色の円です。この例では、PCAでは説明されていない分散の割合が23.23%、SOMでは6.86%です。^{[ 13 ]}

SOM を解釈する方法は 2 つあります。トレーニングフェーズでは、近傍全体の重みが同じ方向に移動するため、類似のアイテムは隣接するニューロンを興奮させる傾向があります。したがって、SOM は、類似のサンプルが近くに、類似していないサンプルが離れた場所にマッピングされる意味マップを形成します。これは、 SOM のU 行列(隣接するセルの重みベクトル間のユークリッド距離) によって視覚化できます。^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}

もう一つの考え方は、ニューロンの重みを入力空間へのポインターとして捉えることです。これらは、訓練サンプルの分布を離散的に近似したものです。訓練サンプルが集中している領域ではニューロンの数が多くなり、サンプルが少ない領域ではニューロンの数が少なくなります。

SOMは主成分分析（PCA）の非線形一般化とみなすことができます。 ^{[ 17 ]}人工データと実際の地球物理データの両方を使用して、SOMは経験的直交関数（EOF）やPCAなどの従来の特徴抽出方法よりも多くの利点があることが示されています^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}。さらに、研究者は、クラスタリングとPCAは人間の脳の同じ局所フィードバック回路の異なる側面を反映しており、SOMは両方のプロセスを導く共通の学習ルールを提供していることを発見しました。言い換えれば、クラスタリングとPCAはSOMを介して相乗効果を発揮します。^[²⁰^]

元々、SOMは最適化問題の解決策として定式化されたものではありませんでした。しかしながら、SOMの定義を変更し、同様の結果をもたらす最適化問題を定式化しようとする試みがいくつかありました。^{[ 21 ]}例えば、弾性マップは弾性の機械的メタファーを使用して主多様体を近似します。^{[ 22 ]}その類推は弾性膜とプレートです。

例

銀行システムの財務分析^{[ 23 ]}^{[ 24 ]}
金融投資^{[ 25 ]}^{[ 26 ]}
プロジェクトの優先順位付けと選択^{[ 27 ]}
石油・ガス探査のための地震ファシース解析^{[ 28 ]}
故障モード影響解析^{[ 29 ]}
大規模データセットから代表的なデータを見つける
- 生態系群集の代表種^{[ 30 ]}
- エネルギーシステムモデルの代表日^{[ 31 ]}

代替アプローチ

生成地形マップ（GTM）は、SOMの代替となる可能性のあるものです。GTMは入力空間からマップ空間への滑らかで連続的なマッピングを明示的に要求するという意味で、トポロジーを保持します。しかし、実際的な意味では、このトポロジー保持の尺度は不足しています。^{[ 32 ]}
成長型自己組織化マップ（GSOM）は、自己組織化マップの成長型バリアントです。GSOMは、SOMにおける適切なマップサイズを特定するという問題に対処するために開発されました。最小限のノード数（通常は4つ）から始まり、ヒューリスティックに基づいて境界上に新しいノードを成長させます。スプレッドファクターと呼ばれる値を使用することで、データアナリストはGSOMの成長を制御できます。^{[ 33 ]}
等角写像アプローチでは、等角写像を使用して、連続曲面内のグリッドノード間で各トレーニングサンプルを補間します。このアプローチでは、1対1の滑らかなマッピングが可能です。^{[ 34 ]}^{[ 35 ]}
時間適応型自己組織化マップ（TASOM）ネットワークは、基本SOMの拡張です。TASOMは適応型学習率と近傍関数を採用しています。また、入力空間のスケーリング、並進、回転に対してネットワークを不変にするスケーリングパラメータも含まれています。TASOMとその派生形は、適応型クラスタリング、マルチレベル閾値処理、入力空間近似、アクティブコンターモデリングなど、いくつかのアプリケーションで使用されています。^{[ 36 ]}さらに、TASOMネットワークで構成されたノードを持つ二分自然木に似た二分木TASOMまたはBTASOMが提案されており、そのレベル数とノード数は環境に応じて適応します。^{[ 37 ]}
弾性マップアプローチは、スプライン補間から弾性エネルギーの最小化の考え方を取り入れています。学習においては、最小二乗近似誤差で二次曲げエネルギーと伸張エネルギーの合計を最小化します。^{[ 38 ]}
方向付け可能でスケーラブルなマップ(OS-Map) は、近傍関数と勝者選択を一般化します。^{[ 39 ]}均質なガウス近傍関数は、行列指数関数に置き換えられます。したがって、マップ空間またはデータ空間のいずれかで方向を指定できます。SOM は固定スケール (=1) を持ち、マップは「観測領域を最適に記述」します。しかし、領域を 2 回または n 分割でカバーするマップはどうでしょうか? これはスケーリングの概念を伴います。OS-Map は、スケールを、入力がマップ内でいくつの最良一致ノードを持っているかの統計的記述とみなします。

さらに読む

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概要