ケンプナー関数

数論において、ケンプナー関数${\displaystyle S(n)}$^{[ 1 ]}は、与えられた正の整数に対して定義される。${\displaystyle n}$最小の数になる${\displaystyle s}$そのため${\displaystyle n}$階乗を割る${\displaystyle s!}$例えば、その数字は${\displaystyle 8}$割り切れない${\displaystyle 1!)$、${\displaystyle 2!)$、または${\displaystyle 3!)$しかし、分割する${\displaystyle 4!)$、それで${\displaystyle S(8)=4}$。

この関数は非常に不規則な成長率を示します。素数では線形的に成長しますが、階乗数では対数以下しか成長しません。

この関数は、1883年にフランソワ・エドゥアール・アナトール・リュカによって初めて検討され^{[ 2 ]} 、続いて1887年にジョセフ・ジャン・バティスト・ノイベルクによって検討された^{[ 3 ]。} 1918年には、AJ・ケンプナーが計算アルゴリズムを提示した。${\displaystyle S(n)}$裁判なしで。^{[ 4 ]}

ケンプナー関数は、1980年にフロレンティン・スマランダッシュがこの関数を再発見したことから、スマランダッシュ関数とも呼ばれることがある。 ^{[ 5 ]}

以来${\displaystyle n}$分ける${\displaystyle n!}$、${\displaystyle S(n)}$常に最大${\displaystyle n}$数​${\displaystyle n>4}$素数であるのは、${\displaystyle S(n)=n}$[ ^{6 ]}つまり、数字^は${\displaystyle n}$そのために${\displaystyle S(n)}$可能な限り大きい${\displaystyle n}$は素数です。反対に、${\displaystyle S(n)}$階乗は可能な限り小さい値です。${\displaystyle S(k!)=k}$すべての​${\displaystyle k\geq 1}$。

${\displaystyle S(n)}$は、整数係数を持つ単項式の最小次数であり、その整数上の値はすべてで割り切れる。${\displaystyle n}$^{[ 1 ]} 例えば、${\displaystyle S(6)=3}$これは、6 を法としてすべての値がゼロになるような3 次多項式が存在することを意味します。たとえば、次の多項式です。 $${\displaystyle x(x-1)(x-2)=x^{3}-3x^{2}+2x,}$$ しかし、すべての二次多項式または一次多項式（最高次係数が1）は、ある整数において6を法としてゼロにならない。

1991年に出題され、1994年に解決された『アメリカ数学月報』の高度な問題の一つで、ポール・エルデシュは関数が${\displaystyle S(n)}$最大の素因数と一致する${\displaystyle n}$「ほぼすべて」${\displaystyle n}$（例外の集合の漸近密度がゼロであるという意味で）。 ^{[ 7 ]}

ケンプナー関数${\displaystyle S(n)}$任意の数の${\displaystyle n}$素数のべき乗に対する最大値である。${\displaystyle p^{e}}$分割${\displaystyle n}$、 の${\displaystyle S(p^{e})}$[ ^{4 ]の}場合${\displaystyle n}$それ自体が主要な力である${\displaystyle p^{e}}$ケンプナー関数は、の倍数を順次スキャンすることで多項式時間で求めることができる。${\displaystyle p}$階乗に十分な倍数が含まれる最初のものが見つかるまで${\displaystyle p}$同じアルゴリズムは、あらゆるものに拡張できます。${\displaystyle n}$素因数分解が既に分かっている場合、素因数分解の各素数のべき乗にそれぞれ素因数分解を適用し、最も大きな値になるものを選択することによって、その素因数分解を求める。

形式によっては${\displaystyle n=px}$、 どこ${\displaystyle p}$素数であり${\displaystyle x<p}$ケンプナー関数${\displaystyle n}$は${\displaystyle p}$[ ^{4 ]}このことから、半素数（2つの素数の積）のケンプナー関数を計算することは、その素因数分解を求めることと計算上同等であり、素因数分解^は難しい問題と考えられていることがわかる。より一般的には、${\displaystyle n}$は合成数であり、最大公約数は${\displaystyle S(n)}$そして${\displaystyle n}$は必然的に非自明な約数となる${\displaystyle n}$許可する${\displaystyle n}$ケンプナー関数を繰り返し評価することで因数分解される。したがって、ケンプナー関数の計算は、一般的に合成数の因数分解よりも容易ではない。

• 定規関数、成長率が一定しないより単純な整数関数

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