川崎の定理

川崎の定理または川崎・ジャスティン定理は、折り畳んで平面図形を形成できる頂点が 1 つだけの折り目パターンを説明する、紙折りの数学における定理です。この定理は、頂点の周りの連続する折り目の角度を交互に加算および減算して、交互の合計が 0 になる場合にのみ、パターンが平面折り可能であることを述べています。頂点が 1 つ以上ある折り目パターンは、このような単純な基準に従わず、折り畳むのはNP 困難です。

この定理は発見者の一人である川崎俊一にちなんで名付けられました。しかし、この定理の発見には他の何人かの人物も貢献しており、他の貢献者であるジャック・ジャスティンとコーディ・フシミにちなんで川崎・ジャスティン定理またはフシミの定理と呼ばれることもあります。^[1]

1頂点折り目パターンは、平らな紙に描かれた一連の放射線または折り目で構成され、すべて紙の内部の同じ点から発せられます。（この点はパターンの頂点と呼ばれます。）各折り目は折りたたむ必要がありますが、パターンでは折り目が山折りか谷折りかを指定していません。目標は、すべての折り目が折りたたまれ、他の場所では折り目が発生せず、折りたたまれた紙全体が平らになるように紙を折りたたむことができるかどうかを判断することです。^[2]

平らに折るには、折り目の数が偶数でなければなりません。これは、例えば、平らに折られた頂点における山折りの数は、谷折りの数とちょうど 2 倍異なるという前川の定理に従います。 ^[3]したがって、折り目のパターンが偶数2 nの折り目で構成されていると仮定し、α ₁、α ₂、…、α _{2 n を}、いずれかの角度から始めて時計回りの順序で、頂点の周りの折り目間の連続する角度とします。すると、川崎の定理は、折り目パターンを平らに折ることができるのは、角度の交互の和と差が0 になる場合のみであると述べています。

α ₁ − α ₂ + α ₃ − ⋯ + α _{2 n − 1} − α _{2 n} = 0

同じ条件を等価的に表現する方法としては、角度を2つの交互のサブセットに分割した場合、どちらのサブセットの角度の合計もちょうど180度になる、というものがあります。^[4]しかし、この等価な形式は平らな紙の折り目パターンにのみ適用されますが、条件の交互和形式は頂点にゼロ以外の欠陥がある円錐形の紙の折り目パターンにも有効です。 ^[2]

川崎の定理は、任意の折り目パターンの各頂点に適用され、折り目パターンが局所的に平坦に折り畳めるかどうかを判定します。局所的に平坦に折り畳めるとは、折り目パターンの頂点に近い部分を平坦に折り畳むことができることを意味します。しかし、局所的に平坦に折り畳めるものの、折り目パターン全体に一度に機能するグローバル平坦折りを持たない折り目パターンも存在します。^[3] トム・ハル (1994) は、折り目パターンの各頂点で川崎の定理をチェックし、さらに折り目パターンに関連付けられた無向グラフの二部性をテストすることで、グローバル平坦折り可能性をテストできると予想しました。 ^[5]しかし、この予想は、ハルの条件では不十分であることを示したバーン & ヘイズ (1996) によって反証されました。さらに強く、バーンとヘイズは、グローバル平坦折り可能性のテストの問題がNP 完全であることを示しました。^[6]

川崎の条件がどんな平らに折り畳まれた図形にも必ず当てはまることを示すには、各折り目で紙の向きが逆になっていることを観察するだけで十分である。つまり、平らに折り畳まれた図形の最初の折り目がx軸に平行な平面に置かれているとすると、次の折り目はそこから角度α ₁だけ回転する必要があり、その次の折り目は角度α ₁ − α ₂だけ回転する必要がある（2 番目の角度は最初の角度と逆向きになっているため）、などとなる。紙が最後の角度で元の位置に戻るためには、川崎の条件が満たされなければならない。^{[3] [4] [7] [8]}

条件が十分条件でもあることを示すには、与えられた折り目パターンを平らに折りたたむ方法を記述する必要があります。つまり、山折りにするか谷折りにするかを選択する方法と、紙のフラップをどのような順序で重ねるかを示す必要があります。これを行う1つの方法は、部分交代和が

α ₁ − α ₂ + α ₃ − ⋯ + α _{2 i − 1} − α _{2 i}

は可能な限り小さくします。i = 0で部分和が空の合計でゼロになるか、iがゼロでない値の場合は部分和が負になります。次に、角度α _{2 i + 1}から始めて山折りと谷折りを交互に繰り返し、紙の各角度のくさびを前の折りの下に配置しながら、パターンをアコーディオン折りにします。最後の折り目までの各ステップで、このタイプのアコーディオン折りは決して自己交差しません。i の選択により、最初のくさびが他のすべての折り紙の左側に突き出るようにし、最後のくさびがそれにつながるようにします。^[5]

十分性の別の証明を使用して、平坦折りには多くの異なる方法があることを示すことができます。最小の角度α _iとその両側にある 2 つの折り目について考えます。これらの 2 つの折り目のうちの 1 つを山折りにし、もう 1 つを谷折りにします。どの折り目をどの折り目に使用するかを任意に選択します。次に、結果として得られる紙のフラップを折り目パターンの残りの部分に接着します。この接着の結果、円錐形の紙に折り目が 2 つ少ない折り目パターンが作成されますが、それでも Kawasaki の条件を満たします。したがって、数学的帰納法によって、このプロセスを繰り返すと、最終的に平坦折りにつながります。帰納法の基本ケースは、2 つの折り目と 2 つの等角くさびだけを持つ円錐であり、明らかに両方の折り目に山折りを使用して平坦に折りたたむことができます。この方法の各ステップで使用する折り目を選択する方法は 2 つあり、各ステップで 2 つの折り目が削除されます。したがって、川崎の条件を満たす2n個の折り目を持つ折り目パターンには、すべて有効な平坦折りにつながる少なくとも2n^{個の異なる山折りと谷折りの選択肢があります。 [9]}

1970年代後半、コウディ・フシミとデイビッド・A・ハフマンはそれぞれ独立に、折り畳まれた図形に4本の折り目があると、反対角がπを足し合わせることで、川崎の定理の特殊なケースが成り立つことを観察した。^{[10] [11]}ハフマンは1976年に曲がった折り目に関する論文にこの成果を盛り込み、^[12]フシミは妻のフシミ光恵とともに、折り紙幾何学に関する本の中で4本の折り目の定理を発表した。^{[13]同じ成果は、それ以前にも、1966年に村田茂によって発表された2本の論文で、6本の折り目のケースと}前川の定理 の一般的なケースも取り上げられていた。^[14]

任意の数の折り目を持つ折り目パターンは、必ず交互に角度の和がπになるという事実は、1970年代後半から1980年代前半にかけて、カワサキ、スチュアート・ロバートソン、ジャック・ジャスティン（これもそれぞれ独立に）によって発見されました。^{[6] [10] [15] [16] [17] [18]} ジャスティンの貢献により、カワサキの定理はカワサキ・ジャスティンの定理とも呼ばれています。^{[19]この条件が十分であるという事実、つまり、交互に}π になる均等な数の角度を持つ折り目パターンは常に平坦に折りたたむことができるという事実は、おそらくハル（1994）によって最初に述べられました。^[5]

川崎自身は、この結果をコウディ・フシミにちなんでフシミの定理と呼んでおり、他の著者もこの用語に従っている。^{[7] [20]}この結果に「川崎の定理」という名前が最初に与えられたのは、笠原邦彦と高浜敏江の共著『鑑定家のための折り紙』（日本出版、1987年）である。^[3]

ハル（2003）は、定理の条件を満たす折り目パターンの異なる平坦折りの数の下限が²ⁿであるとの説を、1990年代初頭の東氏[21]、ジャスティン氏[17]、エウィンズ氏とハル氏[9]による独立した研究のおかげだ^とし^ている。

川崎の定理は平らに折りたたまれた状態を持つ折り畳みパターンを完全に記述しているが、その状態に到達するのに必要な折り畳みプロセスは記述していない。いくつかの（多頂点）折り畳みパターンでは、紙を平らなシートから平らに折りたたまれた状態に変換するときに、紙を曲げたり曲げたりする必要がある。紙の残りの部分は平らに保ち、各折り目で二面角のみを変更するのではない。剛体折り紙（折り目以外は表面を平らに保つ折り方で、柔軟な紙ではなく、硬い素材のヒンジ付きパネルに適している）の場合、川崎の定理の条件は、単一頂点の折り目パターンを展開状態から平らに折りたたんだ状態に移行させるのに十分であることが判明している。^[22]

• ワイスタイン、エリック W.、「川崎の定理」、MathWorld