加藤の不等式

加藤の不等式は、数学の分野の一つである関数解析において、ラプラス作用素または特定の楕円作用素に対する分配不等式である。1972年に日本の数学者加藤敏雄によって証明された。^[1]

元々の不等式はいくつかの退化した楕円演算子に対するものである。^[2]この記事ではラプラス演算子の特別な（しかし重要な）ケースを扱う。^[3]

が有界開集合で、 が成り立つとする。このとき、次が成り立つ^{[4] [3]}${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle f\in L_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega )}$${\displaystyle \Delta f\in L_{\operatorname {loc} }^{1}(\Omega )}$

${\displaystyle \Delta |f|\geq \operatorname {Re} \left((\operatorname {sgn} {\overline {f}})\Delta f\right)\quad }$で、${\displaystyle \;{\mathcal {D}}'(\Omega )}$

どこ

${\displaystyle \operatorname {sgn} {\overline {f}}={\begin{cases}{\frac {\overline {f(x)}}{|f(x)|}}&{\text{if }}f\neq 0\\0&{\text{if }}f=0.\end{cases}}}$^[5]

${\displaystyle L_{\operatorname {loc} }^{1}}$は局所的に積分可能な関数、つまり定義域のすべてのコンパクトな部分集合上で積分可能な関数の空間です。

• 不等式は次のような形で表現されることもある。

${\displaystyle \Delta f^{+}\geq \operatorname {Re} \left(1_{[f\geq 0]}\Delta f\right)\quad }$で${\displaystyle \;{\mathcal {D}}'(\Omega )}$

ここで、およびは指示関数です。${\displaystyle f^{+}=\operatorname {max} (f,0)}$${\displaystyle 1_{[f\geq 0]}}$

• が連続している場合${\displaystyle f}$${\displaystyle \オメガ}$

${\displaystyle \Delta |f|\geq \operatorname {Re} \left((\operatorname {sgn} {\overline {f}})\Delta f\right)\quad }$で。^[6]${\displaystyle \;{\mathcal {D}}'(\{f\neq 0\})}$

• Brezis, Haı̈m; Ponce, Augusto (2004). 「Δu が測度である場合の Kato の不等式」. Comptes Rendus Mathematique . 338 (8): 599–604. doi :10.1016/j.crma.2003.12.032.
• Arendt, Wolfgang; ter Elst, Antonious FM (2019). 「 Kato の不等式」。解析と演算子理論。Springer Optimization and Its Applications。Springer Optimization and Its Applications。Vol. 146。Cham: Springer。pp. 47–60。doi : 10.1007 /978-3-030-12661-2_3。ISBN 978-3-030-12660-5. S2CID  191796248。