スペクトル部分多様体

力学系において、スペクトル部分多様体（SSM）は、非線形性が追加された線形力学系のスペクトル部分空間の非線形拡張として機能する、唯一の最も滑らかな 不変多様体です。 ^{[2] SSM理論は、線形力学系の固有空間の不変特性を非線形系に拡張できる条件を提供し、そのため、}非線形次元削減におけるSSMの使用を促進します。

SSMは主に動的システムの正確なモデル縮小に使用されます。SSMの自動計算と縮小されたダイナミクスの解析のために、SSMToolやSSMLearnなどのオープンソースのオンラインソフトウェアパッケージが公開されています。これらのツールを使用すると、基礎となる運動方程式または軌道データからシステムダイナミクスを研究することができ、解析的アプローチとデータ駆動型アプローチの両方がサポートされます。^{[3] [4]} SSMToolの詳細なドキュメントはオンラインで提供されています。^[5]

次のような非線形 常微分方程式を考える。

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Ax+f_{0}(x),\quad x\in \mathbb {R} ^{n},}$

定数行列と滑らかな関数に含まれる非線形性を持ちます。 ${\displaystyle \ A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$${\displaystyle f_{0}={\mathcal {O}}(|x|^{2})}$

のすべての固有値に対して、つまり原点は漸近的に安定な固定点であると仮定する。ここで、の固有ベクトルの範囲を選択する。すると、固有空間は線形化システムの不変部分空間となる 。${\displaystyle {\text{Re}}\lambda _{j}}$${\displaystyle \lambda _{j},\ j=1,\ldots ,n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E={\text{span}}\,\{v_{1}^{E},\ldots v_{m}^{E}\}}$${\displaystyle m}$ ${\displaystyle v_{i}^{E}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Ax,\quad x\in \mathbb {R} ^{n}.}$

線形システムに非線形性を加えると、一般には無限個の不変多様体に摂動します。これらの不変多様体の中で、唯一最も滑らかなものはスペクトル部分多様体と呼ばれます。 ${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle E}$

不安定な SSM についても同等の結果が成り立ちます。 ${\displaystyle {\text{Re}}\lambda _{j}>0}$

のスペクトル内の固有値が特定の非共鳴条件を満たす限り、原点で に接するスペクトル部分多様体が存在することが保証されます。^[6]特に、スペクトル部分空間の外側では の固有値の 1 つに等しいの線形結合は存在しません。このような外部共鳴がある場合は、共鳴モードを に含めて、拡張されたスペクトル部分空間に関連する高次元 SSM に解析を拡張することができます。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle \lambda _{i}^{E}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \lambda _{i}^{E}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$

スペクトル部分多様体の理論は、次のような非線形 非自律系にまで拡張される。

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Ax+f_{0}(x)+\epsilon f_{1}(x,\Omega t),\quad \Omega \in \mathbb {T} ^{k},\ 0\leq \epsilon \ll 1,}$

準周期的な強制項を伴う。^[7]${\displaystyle f_{1}:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {T} ^{k}\to \mathbb {R} ^{n}}$

スペクトル部分多様体は、力学系における厳密な非線形次元削減に役立ちます。高次元位相空間を低次元多様体に削減すると、システムの主な漸近挙動を正確に記述できるようになり、大幅な簡素化につながります。^[8]既知の力学系の場合、不変方程式を解くことでスペクトル部分多様体を解析的に計算でき、スペクトル部分多様体の削減モデルを使用して強制に対する応答を予測できます。^[9]

さらに、これらの多様体は、機械学習アルゴリズムを使用して動的システムの軌道データから直接抽出することもできます。^[10]

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• 非線形次元削減
• ラグランジアンコヒーレント構造

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