整数ブルームトポロジー

数学の一分野である一般位相幾何学において、整数ブルーム位相は、いわゆる整数ブルーム空間X上の位相の一例である。^{[ 1 ]} 

整数ブルーム空間Xは平面R ^2の部分集合です。平面が極座標でパラメータ化されていると仮定します。整数ブルームは原点と、nが非負整数でθ ∈ {1/ k : k ∈ Z ⁺ } である点 ( n , θ ) ∈ R 2 を含みます。ここでZ +は正の整数の^集合です^。 [ ^{1 ]右}の画像は0 ≤ n ≤ 5および1/15 ≤ θ ≤ 1の場合の例を示しています。幾何学的には、この空間は収束する数列の集合から構成されます。固定されたnに対して、中心が (0, 0) で半径がn の円上にある点列 − があり、これは点 ( n , 0) に収束します。 

X上の位相は積位相によって定義される。整数ブルーム空間は極座標によって与えられる。

${\displaystyle (n,\theta )\in \{n\in \mathbb {Z} :n\geq 0\}\times \{\theta =1/k:k\in \mathbb {Z} ^{+}\}\,.}$

簡略化のため、( n , θ ) ∈ U × Vと書こう。 X上の整数ブルーム位相は、 U に右順序位相を与え、VにRの部分空間位相を与えることによって誘導される積位相である。^{[ 1 ]}

整数ブルーム空間は、整数ブルーム位相とともに、コンパクトな位相空間である。これはT ₀空間であるが、 T ₁空間でもハウスドルフ空間でもない。この空間はパス連結であるが、局所連結でも アーク連結でもない。^{[ 2 ]}

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