機械的利点

機械的利点は、工具、機械装置、または機械システムを使用することで得られる力の増幅の尺度です。装置は、出力力の望ましい増幅を得るために、入力力と運動のトレードオフを行います。このモデルはてこの法則です。このように力と運動を管理するように設計された機械部品は、機構 と呼ばれます。^{[ 1 ]} 理想的な機構は、動力を加えたり減らしたりすることなく動力を伝達します。これは、理想的な機械には動力源がなく、摩擦がなく、たわんだり摩耗したりしない剛体から構成されていることを意味します。この理想に対する実際のシステムの性能は、理想からの逸脱を考慮した効率係数で表されます。

てこは、固定点に取り付けられた、または固定点上もしくは固定点をまたぐ支点を中心に回転する可動棒です。てこは、支点（回転軸）から異なる距離に力を加えることで作動します。支点の位置によって、てこの種類が決まります。てこが連続的に回転する場合、それは回転式第二種てことして機能します。てこの終点の動きは、機械エネルギーの交換が可能な固定軌道を描きます。

現代では、このような回転レバーは、機械的な動力伝達機構で使用される歯車、プーリー、摩擦駆動装置など、広く利用されています。機械的利点は、複数の歯車（ギアセット）を用いることで「圧縮」された形で操作されるのが一般的です。このようなギアセットでは、半径が小さく、固有の機械的利点が小さい歯車が使用されます。圧縮されていない機械的利点を利用するには、「真の長さ」の回転レバーを使用する必要があります。

レバーが支点を中心に回転すると、支点から遠い点ほど、支点に近い点よりも速く動きます。レバーへの入力と出力は同じなので、計算を行う際にも同じ出力になるはずです。出力は力と速度の積なので、支点から遠い点に加える力は、支点に近い点に加える力よりも小さくなければなりません。^{[ 1 ]}

aとbが支点から点Aと点Bまでの距離であり、点Aに加わる力F _Aが入力力、点Bに加わる力F _Bが出力力である場合、点Aと点Bの速度比はa / bで与えられるので、出力力と入力力の比、すなわち機械的利点は次のように与えられる。

$${\displaystyle {\mathit {MA}}={\frac {F_{b}}{F_{a}}}={\frac {a}{b}}.}$$

これは、アルキメデスが幾何学的推論を用いて定式化したてこの法則です。^{[ 2 ]}この法則は、支点から入力力が加えられる点（点A ）までの距離aが、支点から出力力が加えられる点（点B ）までの距離bよりも大きい場合、てこは入力力を増幅することを示しています。支点から入力力までの距離が、支点から出力力までの距離よりも小さい場合、てこは入力力を減少させます。てこの法則の深い意味と実用性を認識したアルキメデスには、「私に立つ場所を与えてくれれば、てこを使って全世界を動かしてみせる」という有名な言葉が帰せられています。^{[ 3 ]}

てこの静的解析における速度の使用は、仮想仕事の原理の応用である。

理想的な機構への入力動力が出力動力と等しくなければならないという条件は、システムの入力速度と出力速度の比から機械的利点を計算する簡単な方法を提供する。

トルクT _Aが駆動プーリーに加わり、角速度ω _Aで回転するギアトレインへの動力入力はP=T _A ω _Aです。

動力の流れが一定であるため、出力ギアのトルクT _Bと角速度ω _{Bは次の関係式を満たさなければならない。}

${\displaystyle P=T_{A}\omega _{A}=T_{B}\omega _{B},\!}$

これにより

${\displaystyle {\mathit {MA}}={\frac {T_{B}}{T_{A}}}={\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}.}$

これは、理想的な機構においては、入出力速度比がシステムの機械的利点に等しいことを示している。これは、ロボットからリンク機構に至るまで、あらゆる機械システムに当てはまる。

歯車の歯は、歯車の歯数がピッチ円の半径に比例し、噛み合う歯車のピッチ円が互いに滑ることなく転がるように設計されています。噛み合う一対の歯車の速度比は、ピッチ円の半径の比と各歯車の歯数の比、つまりギア比から計算できます。

ピッチ円上の接触点の 速度vは両方の歯車で同じであり、次式で与えられる。

${\displaystyle v=r_{A}\omega _{A}=r_{B}\omega _{B},\!}$

ここで、入力ギアA_は半径rA_を持ち、半径rBの出力ギアBと噛み合うため、

${\displaystyle {\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}={\frac {N_{B}}{N_{A}}}.}$

ここで、NA_は入力ギアの歯数、NB_は出力ギアの歯数である。

入力歯車の歯数がN _A、出力歯車の歯数がN _Bである一対の噛み合う歯車の機械的利点は、 次式で与えられる。

${\displaystyle {\mathit {MA}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}={\frac {N_{B}}{N_{A}}}.}$

_これは、出力ギアGBの歯数が入力ギアGAより多い場合、ギアトレインが入力トルクを増幅することを示している。_また、出力ギアの歯数が入力ギアより少ない場合、ギアトレインは入力トルクを減少させる。

歯車列の出力歯車が入力歯車よりも低速で回転する場合、その歯車列は減速機（力増幅装置）と呼ばれます。この場合、出力歯車は入力歯車よりも歯数が多くなければならないため、減速機は入力トルクを増幅します。

チェーンで連結された2つのスプロケット、またはベルトで連結された2つのプーリーからなる機構は、動力伝達システムにおいて特定の機械的利点を提供するように設計されている。

チェーンまたはベルトの速度vは、2つのスプロケットまたはプーリーに接触しているとき、同じである。

${\displaystyle v=r_{A}\omega _{A}=r_{B}\omega _{B},\!}$

ここで、入力スプロケットまたはプーリーAは_ピッチ半径rAに沿ってチェーンまたはベルトと噛み合い、出力スプロケットまたはプーリーBは_このチェーンまたはベルトとピッチ半径rBに沿って噛み合う。

したがって

${\displaystyle {\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}={\frac {N_{B}}{N_{A}}}.}$

ここで、NA_は入力スプロケットの歯数、NB_は出力スプロケットの歯数です。歯付きベルト駆動の場合は、スプロケットの歯数を使用できます。摩擦ベルト駆動の場合は、入力プーリーと出力プーリーのピッチ半径を使用する必要があります。

入力スプロケットの歯数がNAで、出力スプロケットの歯数が_NB であるチェーン駆動または歯付きベルト駆動の機械的利点は、 次_式で与えられる。

${\displaystyle {\mathit {MA}}={\frac {T_{B}}{T_{A}}}={\frac {N_{B}}{N_{A}}}.}$

摩擦ベルト駆動の機械的利点は次式で与えられる。

${\displaystyle {\mathit {MA}}={\frac {T_{B}}{T_{A}}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}.}$

チェーンやベルトは摩擦、伸び、摩耗によって動力を損失するため、実際の出力は入力よりも少なくなり、実システムの機械的利点は理想的な機構で計算される値よりも小さくなります。チェーンやベルト駆動では、摩擦熱、変形、摩耗によってシステム全体の動力の最大5%が失われる可能性があり、その場合、駆動効率は95%となります。

例：自転車のチェーン駆動

 半径7インチのクランクと 直径26インチのホイールを備えた18段変速自転車を考えてみましょう。クランクと後輪駆動輪のスプロケットのサイズが同じであれば、タイヤにかかる出力力とペダルにかかる入力力の比は、てこの法則から次のように計算できます。

${\displaystyle {\mathit {MA}}={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {7}{13}}=0.54.}$

ここで、フロントスプロケットの歯数は28と52、リアスプロケットの歯数は16と32から選択できると仮定します。これらの組み合わせによって、フロントスプロケットとリアスプロケット間の速度比を以下のように計算できます。

自転車を駆動する力とペダルにかかる力の比、すなわち自転車の総合的な機械的利点は、速度比（または出力スプロケットと入力スプロケットの歯数比）とクランクホイールのレバー比の積である。

いずれの場合も、ペダルにかかる力は自転車を前進させる力よりも大きいことに注目してください（上の図では、地面に作用する後方への反力が示されています）。

滑車装置とは、ロープと滑車を組み合わせたもので、荷物を持ち上げるために使用されます。複数の滑車が組み合わされてブロックを形成し、そのうち1つは固定され、もう1つは荷物と一緒に動きます。ロープは滑車に通され、ロープに加わる力を増幅する機械的利点をもたらします。^{[ 4 ]}

滑車システムの機械的利点を判断するために、固定滑車1個と可動滑車1個を備えた単純なガンタックルを考えてみましょう。ロープは固定滑車に巻き付けられ、可動滑車まで降りていき、そこで滑車に巻き付けられ、再び引き上げられて固定滑車に結び付けられます。

Sを固定ブロックの軸からロープの端（入力力が加えられる点A）までの距離とする。Rを固定ブロックの軸から可動ブロックの軸（荷重が加えられる点B）までの距離とする。

ロープの全長Lは次のように表すことができます。

${\displaystyle L=2R+S+K,\!}$

ここで、Kは滑車を通過するロープの一定の長さであり、滑車装置が動いても変化しない。

点Aと点_Bの速度V _AとV Bは、ロープの一定の長さによって関係付けられる。

${\displaystyle {\dot {L}}=2{\dot {R}}+{\dot {S}}=0,}$

または

${\displaystyle {\dot {S}}=-2{\dot {R}}.}$

負の符号は、荷重の速度が加える力の速度と逆方向であることを示しており、つまり、ロープを下に引っ張ると荷重は上に移動することを意味します。

V _{A を}下向きに正、V B_を上向きに正とすると、この関係は速度比として表すことができる。

${\displaystyle {\frac {V_{A}}{V_{B}}}={\frac {\dot {S}}{-{\dot {R}}}}=2,}$

ここで、2は可動ブロックを支えるロープのセクション数である。

ロープの端点Aに加わる入力力をFAとし、動いているブロックの端点Bに加わる力をFBとする_。速度と同様に_、 FAは下向き、FB_は上向きで_ある。

理想的な滑車システムでは、滑車に摩擦がなく、ロープにたわみや摩耗がないため、加えられた力F _A V _Aによる入力動力は、負荷F _B V _Bに作用する出力動力と等しくなければなりません。

${\displaystyle F_{A}V_{A}=F_{B}V_{B}.\!}$

出力力と入力力の比は、理想的なガンタックルシステムの機械的利点であり、

${\displaystyle {\mathit {MA}}={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {V_{A}}{V_{B}}}=2.\!}$

この解析は、 n本のロープセクションで支えられた可動ブロックを備えた理想的な滑車装置に一般化されます。

${\displaystyle {\mathit {MA}}={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {V_{A}}{V_{B}}}=n.\!}$

これは、理想的な滑車装置によって加えられる力が入力力のn倍であることを示している。ここでnは、動く滑車を支えるロープのセクション数である。

機械のたわみ、摩擦、摩耗による動力損失がないという仮定に基づいて計算される機械的利得は、達成可能な最大性能です。そのため、これはしばしば理想機械的利得（IMA）と呼ばれます。実際の運転では、たわみ、摩擦、摩耗によって機械的利得は減少します。理想機械的利得から実際の機械的利得（AMA）へのこの減少量は、効率と呼ばれる係数によって定義され、この効率は実験によって決定されます。

例えば、 6つのロープセクションと600 ポンドの負荷の場合、理想的なシステムのオペレーターはロープを6フィート引っ張り、力を加える必要がある。100ポンド_F の力で荷物を1フィート持ち上げます。比率F _out / F _inとV _in / V _outの両方から、IMAが6であることがわかります。最初の比率については、100ポンド_F の力入力の結果、600ポンド_F の力が出力されます。実際のシステムでは、滑車の摩擦のため、出力は 600 ポンド未満になります。2 番目の比率も理想的なケースでは MA が 6 になりますが、実際のシナリオではより小さな値になります。ロープの伸びなどのエネルギー損失を適切に考慮していないためです。これらの損失を IMA から差し引くか、最初の比率を使用すると、AMA が得られます。

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• フィッシャー、レン（2003）『ドーナツの浸し方：日常生活の科学』アーケード・パブリッシング、ISBN 978-1-55970-680-3。
• 米国海軍人事局（1971年）、『基本機械とその仕組み』（1994年改訂 版）、クーリエ・ドーバー出版、ISBN 978-0-486-21709-3。

• 歯車と滑車
• 機械的利点の素晴らしい例です。
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