IP設定

数学において、IP 集合とは、ある無限集合のすべての有限和を含む自然数の集合です。

自然数の集合Dの有限和は、 Dの有限で空でない部分集合の要素を加算することで得られるすべての数です。 D上のすべての有限和の集合は、多くの場合 FS( D )と表記されます。もう少し一般的には、自然数列 ( n i _{)について、 ( n}_i ) のすべての有限長部分列の和からなる有限和の集合 FS(( n _i )) を考えることができます。

自然数の集合Aが IP 集合であるとは、 FS( D ) がAのサブセットとなるような無限集合D が存在する場合である。同様に、 Aにはシーケンス ( n _i ) のすべての有限和 FS(( n _i )) が含まれることも要求される。

一部の著者は IP セットの定義を若干変えています。つまり、FS( D )が単なるサブセットではなく Aに等しいことを要求しています。

IP集合という用語は、ヒレル・ファーステンバーグとベンジャミン・ワイス^[1]^[2]によって「i nfinite-dimensional parallelepiped 」を略して造られた。偶然にも、略語IPは「i dem potent」^{[3]とも拡張できる（集合がIPとなるのは、それがべき等}ウルトラフィルタのメンバーである場合のみである）。

ハインドマンの定理

がIP 集合でである場合、少なくとも 1 つはIP 集合です。これは、ハインドマンの定理または有限和定理として知られています。^[4]^[5]別の言い方をすれば、ハインドマンの定理は、IP 集合のクラスが分割正則であることを述べています。 $S$ $S=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{n}$ $C_{i}$

自然数の集合自体は IP 集合であり、分割も色付けとして見ることができるため、ハインドマンの定理の特殊なケースをより身近な言葉で再定式化することができます。自然数がn個の異なる色で「色付け」されていると仮定します。各自然数は 1 色だけになります。すると、色cと、すべてcで色付けされた自然数の無限集合D が存在し、 D上のすべての有限和も色c を持ちます。

ハインドマンの定理は、1974年に証明した数学者ニール・ハインドマンにちなんで名付けられました。 ^[4] ミリケン・テイラーの定理は、ハインドマンの定理とラムゼイの定理の共通の一般化です。

半群

IP であることの定義は、自然数の特殊半群の部分集合から、一般の半群と部分半群の部分集合まで拡張されている。ハインドマンの定理の変形は任意の半群に対しても成り立つ。^[6]^[7]

参照

参考文献

^ Furstenberg, H. ; Weiss, B. (1978). 「位相ダイナミクスと組合せ数論」. Journal d'Analyse Mathématique . 34 :61–85. doi : 10.1007/BF02790008 .
^ ハリー、ファーステンバーグ（2014年7月）。エルゴード理論と組合せ数論における再帰。プリンストン、ニュージャージー。ISBN 9780691615363. OCLC 889248822.{{cite book}}: CS1 メンテナンス: 場所が見つかりません発行者 (リンク)
^ Bergelson, V.; Leibman, A. (2016). 「多項式立方構成の相関関数の大きな値の集合」.エルゴード理論と動的システム. 38 (2): 499–522. doi :10.1017/etds.2016.49. ISSN 0143-3857. S2CID 31083478.
^ ab Hindman, Neil (1974). 「N のパーティションのセル内のシーケンスからの有限和」.組み合わせ理論ジャーナル. シリーズ A. 17 (1): 1–11. doi : 10.1016/0097-3165(74)90023-5 . hdl : 10338.dmlcz/127803 .
^ Baumgartner, James E (1974). 「Hindmanの定理の簡単な証明」. Journal of Combinatorial Theory . Series A. 17 (3): 384–386. doi : 10.1016/0097-3165(74)90103-4 .
^ ゴラン、ギリ;ツァバン、ボアズ (2013)。「任意の半群におけるハインドマンの着色定理」。代数ジャーナル。395 : 111-120。arXiv : 1303.3600。土井：10.1016/j.jalgebra.2013.08.007。S2CID 11437903。
^ Hindman, Neil ; Strauss, Dona (1998). 「Stone-Čech コンパクト化における代数: 理論と応用」ニューヨーク: Walter de Gruyter. ISBN 311015420X. OCLC 39368501.

さらに読む

Vitaly Bergelson、IJH Knutson、R. McCutcheon「同時ディオファントス近似と VIP システム 2006-07-18 にWayback Machineでアーカイブ」Acta Arith. 116、Academia Scientiarum Polona、(2005)、13-23
Vitaly Bergelson、「極小べき等性とエルゴード・ラムゼー理論」、ダイナミクスとエルゴード理論のトピックス 8-39、ロンドン数学会講義ノートシリーズ 310、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、(2003)
Bergelson, Vitaly ; Hindman, Neil (2001). 「大きな集合に含まれるパーティション正規構造は豊富である」(PDF) . Journal of Combinatorial Theory . Series A. 93 (1): 18–36. doi : 10.1006/jcta.2000.3061 . 2022年9月18日閲覧。
J. McLeod、「部分半群のサイズの概念」、トポロジー論文集、第25巻(2000 年)、317 ～ 332 ページ

[1] Furstenberg, H. ; Weiss, B. (1978). 「位相ダイナミクスと組合せ数論」. Journal d'Analyse Mathématique . 34 :61–85. doi : 10.1007/BF02790008 .

[2] ハリー、ファーステンバーグ（2014年7月）。エルゴード理論と組合せ数論における再帰。プリンストン、ニュージャージー。ISBN 9780691615363. OCLC 889248822.{{cite book}}: CS1 メンテナンス: 場所が見つかりません発行者 (リンク)

[3] Bergelson, V.; Leibman, A. (2016). 「多項式立方構成の相関関数の大きな値の集合」.エルゴード理論と動的システム. 38 (2): 499–522. doi :10.1017/etds.2016.49. ISSN 0143-3857. S2CID 31083478.

[hindman1974-4] Hindman, Neil (1974). 「N のパーティションのセル内のシーケンスからの有限和」.組み合わせ理論ジャーナル. シリーズ A. 17 (1): 1–11. doi : 10.1016/0097-3165(74)90023-5 . hdl : 10338.dmlcz/127803 .

[5] Baumgartner, James E (1974). 「Hindmanの定理の簡単な証明」. Journal of Combinatorial Theory . Series A. 17 (3): 384–386. doi : 10.1016/0097-3165(74)90103-4 .

[6] ゴラン、ギリ;ツァバン、ボアズ (2013)。「任意の半群におけるハインドマンの着色定理」。代数ジャーナル。395 : 111-120。arXiv : 1303.3600。土井：10.1016/j.jalgebra.2013.08.007。S2CID 11437903。

[7] Hindman, Neil ; Strauss, Dona (1998). 「Stone-Čech コンパクト化における代数: 理論と応用」ニューヨーク: Walter de Gruyter. ISBN 311015420X. OCLC 39368501.