パーティションの規則性

数学の一分野である組合せ論において、分割規則性は集合の集合の大きさの概念の 1 つです。

集合 が与えられたとき、その集合内のすべての集合A が、A を有限個の部分集合に分割する方法に関係なく、部分集合の少なくとも 1 つは集合に属するという性質を持つ場合、その部分集合の集合は分割正則であると呼ばれます。つまり、任意の、および任意の有限分割に対して、に属するi  ≤  nが存在するということです。ラムゼー理論は、どの集合が分割正則であるかを研究するものであると言われることがあります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {S} \subset {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle A\in \mathbb {S} }$${\displaystyle A=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{n}}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle \mathbb {S} }$

• 無限集合Xのすべての無限部分集合の集合は、典型的な例です。この場合、分割規則性は、無限集合のすべての有限分割に無限セルが存在することを主張します (つまり、無限鳩の巣原理)。
• における正の上密度を持つ集合:の上密度は次のように定義される(セメレディの定理)${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\overline {d}}(A)}$${\displaystyle A\subset \mathbb {N} }$${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {|\{1,2,\ldots ,n\}\cap A|}{n}}.}$
• 集合 上の任意のウルトラフィルタ に対して、は分割正則です。つまり、任意の に対して、 であれば、 がちょうど 1 つ存在します。${\displaystyle \mathbb {U} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {U} }$${\displaystyle A\in \mathbb {U} }$${\displaystyle A=C_{1}\sqcup \cdots \sqcup C_{n}}$${\displaystyle C_{i}\in \mathbb {U} }$
• 再帰集合: 整数の集合Rが再帰集合と呼ばれるのは、確率空間(Ω, β , μ )の測度保存変換と正の測度に対して、となる非ゼロが存在するときです。${\displaystyle T}$${\displaystyle A\in \beta }$${\displaystyle n\in R}$${\displaystyle \mu (A\cap T^{n}A)>0}$
• 自然数のサブセットが任意の長さの等差数列を含む場合、そのサブセットをap に富むと呼びます。この場合、ap に富むサブセットのコレクションは分割正則です ( Van der Waerden、1927)。
• を のすべてのn部分集合の集合とします。 とします。各nに対して、は正則分割されます。( Ramsey、1930)。${\displaystyle [A]^{n}}$${\displaystyle A\subset \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}=\bigcup _{A\subset \mathbb {N} }^{}[A]^{n}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$
• 各無限基数 に対して、の定常集合のコレクションは分割正則です。さらに、が定常であり、ある に対して、ある が定常である場合、ある は定常です。${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S=\bigcup _{\alpha <\lambda }S_{\alpha }}$${\displaystyle \lambda <\kappa }$${\displaystyle S_{\alpha}}$
• -集合のコレクション:が何らかのシーケンスの差分の集合を含む場合、 は -集合です。${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle A\subset \mathbb {N} }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{s_{m}-s_{n}:m,n\in \mathbb {N} ,\,n<m\}}$ ${\displaystyle \langle s_{n}\rangle _{n=1}^{\infty }}$
• 上の障壁の集合: 次の場合、障壁の有限部分集合のコレクションと呼びます: ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {B} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$
  • ${\displaystyle \forall X,Y\in \mathbb {B} ,X\not \subset Y}$そして
  • 任意の無限 に対して、 X の要素が I の最小の要素となるようなもの、つまりおよびが存在する。${\displaystyle I\subset \cup \mathbb {B} }$${\displaystyle X\in \mathbb {B} }$ ${\displaystyle X\subset I}$${\displaystyle \forall i\in I\setminus X,\forall x\in X,x<i}$

これはラムゼーの定理を一般化したもので、それぞれが障壁である。（ナッシュ・ウィリアムズ、1965）^[1]${\displaystyle [A]^{n}}$

• 無限木の有限積（ハルパーン・ロイクリ、1966）
• 区分的シンデティック集合（ブラウン、1968）^[2]
• 自然数のサブセットが任意の大きさの有限集合とその有限和すべてを含む場合、そのサブセットをip-richと呼びます。その場合、ip-richサブセットのコレクションは分割正則です（ジョン・フォークマン、リチャード・ラド、J.サンダース、1968年）。^[3]
• ( m , p , c )-集合^{[説明が必要] [4]}
• IPセット^{[5] [6]}
• MT ^k集合（各kに対して） 、つまり 有限和のk組（ミリケン–テイラー、1975）
• 中心集合、すなわち、整数のストーン・チェフコンパクト化における任意の極小冪等元。(Furstenberg, 1981、Hindman, Strauss, 1998 も参照)${\displaystyle \beta \mathbb {N} }$

ディオファントス方程式は、 解を含むすべての無限部分集合の集合が分割正則である場合に分割正則と呼ばれます。ラドーの定理は、どの線形ディオファントス方程式系が分割正則であるかを正確に特徴付けます。最近、非線形ディオファントス方程式の分類に関して大きな進歩がありました。^{[7] [8]}${\displaystyle P(\mathbf {x} )=0}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {0} }$

• Bergelson, Vitaly ; Hindman, Neil (2001). 「大きな集合に含まれるパーティション正規構造は豊富である」。Journal of Combinatorial Theory . Series A. 93 (1): 18–36. doi : 10.1006/jcta.2000.3061 .