ホルンデスキの理論

ホルンデスキー理論は、4 次元における最も一般的な重力理論であり、そのラグランジアンは計量テンソルとスカラー場から構成され、2 階の運動方程式につながります。この理論は1974 年にグレゴリー・ホルンデスキーによって初めて提案され^{[ 1 ]} 、インフレーションやダークエネルギーの宇宙論モデルの構築など、数多くの応用が見出されています^{[ 2 ]}。ホルンデスキー理論には、一般相対性理論、ブランズ・ディッケ理論、クインテッセンス、ダイラトン、カメレオン粒子、共変ガリレオン^{[ 3 ]}など、多くの重力理論が特殊なケースとして含まれています。

ホルンデスキの理論は、アクションの観点から次のように記述できる^{[ 4 ]}

${\displaystyle S[g_{\mu \nu },\phi ]=\int \mathrm {d} ^{4}x\,{\sqrt {-g}}\left[\sum _{i=2}^{5}{\frac {1}{8\pi G_{\text{N}}}}{\mathcal {L}}_{i}[g_{\mu \nu },\phi ]\,+{\mathcal {L}}_{\text{m}}[g_{\mu \nu },\psi _{M}]\right]}$

ラグランジュ密度を用いて

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}=G_{2}(\phi ,\,X)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{3}=G_{3}(\phi ,\,X)\Box \phi }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{4}=G_{4}(\phi ,\,X)R+G_{4,X}(\phi ,\,X)\left[\left(\Box \phi \right)^{2}-\phi _{;\mu \nu }\phi ^{;\mu \nu }\right]}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{5}=G_{5}(\phi ,\,X)G_{\mu \nu }\phi ^{;\mu \nu }-{\frac {1}{6}}G_{5,X}(\phi ,\,X)\left[\left(\Box \phi \right)^{3}+2{\phi _{;\mu }}^{\nu }{\phi _{;\nu }}^{\alpha }{\phi _{;\alpha }}^{\mu }-3\phi _{;\mu \nu }\phi ^{;\mu \nu }\Box \phi \right]}$

ここ${\displaystyle G_{N}}$ニュートン定数は、$\displaystyle {\mathcal {L}}_{m}}$ラグランジュ的な物質を表す。${\displaystyle G_{2}}$に${\displaystyle G_{5}}$は一般的な関数です${\displaystyle \phi }$ そして${\displaystyle X}$、${\displaystyle R,G_{\mu \nu }}$はリッチスカラーとアインシュタインテンソルであり、$\displaystyle g_{\mu \nu }}$はジョルダンフレーム計量、セミコロンは共変微分、コンマは偏微分を示します。${\displaystyle \Box \phi \equiv g^{\mu \nu }\phi _{;\mu \nu }}$、${\displaystyle X\equiv -1/2g^{\mu \nu }\phi _{;\mu }\phi _{;\nu }}$また、重複するインデックスはアインシュタインの慣例に従って合計されます。

理論の自由パラメータの多くは制約されており、$\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}}$スカラー場とトップ場の結合から$\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}}$ATLAS実験での陽子衝突によるジェットとの結合を介して、低い結合値まで低下する。^{[ 5 ]}$\displaystyle {\mathcal {L}}_{4}}$そして$\displaystyle {\mathcal {L}}_{5}}$、 GW170817に続く重力波の速度の直接測定によって強く制約されている。^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

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