ホームプライム

数論において、1より大きい整数nのホーム素数 HP ( n )は、繰り返しを含む素因数の増加連結を繰り返し因数分解することによって得られる素数である。HP( n )を決定する過程におけるm番目の中間段階は、 HPn ( m )と表記される。例えば、HP(10) = 773の場合、10個の因数は2×5なのでHP10(1) = 25となり、25個の因数は5×5なのでHP10(2) = HP25(1) = 55となり、55 = 5×11なのでHP10(3) = HP25(2) = HP55(1) = 511となり、511 = 7×73なのでHP10(4) = HP25(3) = HP55(2) = HP511(1) = 773となり、素数となる。一部の資料では、ホーム素数に括弧を省いたHPnという代替表記を使用している。ホーム素数の研究は、数論における小さな副次的な問題です。その問題は、合成数を因数分解する効率的なアルゴリズムを実装するためのテストフィールドとして機能してきましたが、この主題は実際には娯楽数学の主題です。

2016年時点での未解決の計算問題^{[アップデート]}は、HP(49) = HP(77)が実際に計算可能かどうかである。素数に達するまで各反復は前の反復よりも大きくなるため、終わりに達しない限り因数分解は一般的に難しくなる。2016年8月現在、^{[アップデート]}HP(49)の追求は、2014年12月3日のHP49(117)の計算でブレークが達成された後の、HP49(119)の251桁の合成因数の因数分解に関するものである。 ^[1] これは、2012年9月8日のHP49(110)の因数分解^[2]と2011年1月11日のHP49(104)の因数分解に続くもので、それ以前の計算は10年の大部分に及び、計算リソースを大量に使用した。この探索の歴史の詳細、および100までの他のすべての数のホーム素数につながるシーケンスは、Patrick De Geestのworldofnumbersウェブサイトで管理されています。主にGreat Internet Mersenne Prime Searchに関連するwikiでは、10 進数で 1000 までの既知の完全なデータが保持されており、2 進数から 9 進数までのリストも保持されています。

HP( n ) の素数は

2、3、211、5、23、7、3331113965338635107、311、773、11、223、13、13367、1129、31636373、17、233、19、3318308475676071413、37、211、23、331319、773、3251、13367、227、29、547、...（OEISの配列A037274）

これまで多くの時間を費やしてきた計算上の問題は別として、特定の数に対するホーム素数の存在を絶対的に証明するには、その有効な計算が必要になるようです。純粋にヒューリスティックな観点から言えば、すべての数に対してその存在は確率 1 ですが、このようなヒューリスティックは、さまざまなプロセスから抽出された数について仮定を立てており、その仮定は正しい可能性は高いものの、数学的主張に通常求められる 証明の基準には達していません。

• nが素数の場合、HP(n) = nとなります。

このアイデアが過去に何度も考案されなかったとは考えにくいが、印刷物で最初に言及されたのは、現在は廃刊となっている小規模な出版物Recreational and Educational Computationに 1990 年に書かれた記事のようだ。その記事を執筆した Jeffrey Heleen は、1996 ～ 1997 年版の Journal of Recreational MathematicsでFamily Numbers: Constructing Primes By Prime Factor Splicingと題する記事でこのテーマを再検討しており、これには未解決のものを除くnから 100 までの HP( n ) の結果がすべて含まれていた。また、現在は使われていない 3 桁の未解決数のリストも含まれていた (2012 年 8 月の時点で、リストされていた 58 個はちょうど半分に削減されている)。この記事は、49と77に関する問題を解決しようとする他の人々の試みを誘発する大きな原因となったようです。この記事では、娘と親という用語を使用して合成数とそれらが導く素数を説明し、同じホーム素数に至る数を兄弟と呼び（一方が他方の反復であっても）、親に到達するのに必要な反復回数、ホーム素数を得るためにマップの下で数が持続することを命の数と呼びます。この短い記事では、主題の起源を述べ、用語を定義し、いくつかの例を示し、当時使用されていた機械と方法について言及し、表を提供する以外にはほとんど何もしていません。現在使用されている表記法は De Geest 氏の責任であるようです。OEIS では、素数自体を含め、特定の素数をホーム素数とする数の数を表す用語として homelinessも使用しています。

• レクリエーション数論トピックのリスト
• 素因数分解
• 数字の持続性
• 連結（数学）

• Sloane, N. J. A. (編)。「シーケンス A037274 (ホーム素数: n >= 2 の場合、a(n) = n から始めてその素因数を連結し (A037276)、素数に達するまで繰り返したときに最終的に到達する素数 (素数に達しない場合は a(n) = -1))」。整数シーケンスのオンライン百科事典。OEIS Foundation。
• http://www.worldofnumbers.com/topic1.htm
• http://mathworld.wolfram.com/HomePrime.html
• ホーム プライム プライム Wiki で検索
• J. ヘレーン、「ファミリー数: 素因数結合による素数の構築」、J. Rec. Math.、28、pp. 116–9、1996-7
• J. ヘレーン、「ファミリー数: 数学的ブラックホール」、レクリエーションおよび教育用コンピューティング、5 :5、p. 6、1990 年