ヘレ・ショーの流れ

ヘレ・ショー流れは、 1898 年にこの問題を研究したヘンリー・セルビー・ヘレ・ショーにちなんで名付けられた、狭い隙間で隔てられた 2 枚の平行な平板の間で特定の条件を満たす流れとして定義されます。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}流体力学のさまざまな問題はヘレ・ショー流れに近似できるため、これらの流れの研究は重要です。ヘレ・ショー流れへの近似は、特にマイクロ流れにとって重要です。これは、浅い平面形状を作成する製造技術と、マイクロ流れのレイノルズ数が一般的に低いことに起因します。

満たすべき条件は以下のとおりです。

${\displaystyle {\frac {h}{l}}\ll 1,\qquad {\frac {Uh}{\nu }}{\frac {h}{l}}\ll 1}$

どこ${\displaystyle h}$はプレート間の隙間幅です。${\displaystyle U}$は特性速度スケールです。${\displaystyle l}$はプレートに平行な方向の特性長さスケールであり、${\displaystyle \nu }$は動粘度です。具体的には、レイノルズ数です。${\displaystyle \mathrm {Re} =えー/\nu }$必ずしも小さい必要はなく、条件を満たしていれば1以上のオーダーでも構わない。${\displaystyle \mathrm {Re} (h/l)\ll 1.}$レイノルズ数に関して${\displaystyle \mathrm {Re} _{l}=Ul/\nu }$に基づく${\displaystyle l}$条件は${\displaystyle \mathrm {Re} _{l}(h/l)^{2}\ll 1.}$

ヘレ・ショー流れの支配方程式は、非粘性ポテンシャル流れおよび多孔質媒体を通る流体の流れ（ダルシーの法則）の支配方程式と同一である。したがって、この種の流れを2次元で可視化することができる。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

させて${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$方向は平板に平行であり、${\displaystyle z}$垂直方向では、${\displaystyle h}$プレート間の隙間（${\displaystyle z=0,h}$） そして${\displaystyle l}$関連する特性長さスケールは${\displaystyle xy}$-方向。上記の制限の下では、非圧縮性ナビエ・ストークス方程式は、第一近似で^{[ 6 ]となる。}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial p}{\partial x}}=\mu {\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial z^{2}}},\quad {\frac {\partial p}{\partial y}}&=\mu {\frac {\partial ^{2}v_{y}}{\partial z^{2}}},\quad {\frac {\partial p}{\partial z}}=0,\\{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}&=0,\\\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle \mu }$は粘度です。これらの式は境界層方程式と似ていますが、非線形項はありません。第一近似では、で滑りなし境界条件を課した後、次の式が得られます。${\displaystyle z=0,h}$、

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=p(x,y),\\v_{x}&=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}z(h-z),\\v_{y}&=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}z(h-z)\end{aligned}}}$

の方程式${\displaystyle p}$は連続方程式から得られる。チャネル全体にわたって連続方程式を積分し、壁面で非浸透境界条件を課すと、次の式が得られる。

${\displaystyle \int _{0}^{h}\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\right)dz=0,}$

これはラプラス方程式につながる。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}p}{\partial y^{2}}}=0.}$

この方程式には、適切な境界条件が付加されます。例えば、側壁における非貫通境界条件は次のようになります。${\displaystyle {\mathbf {\nabla } }p\cdot \mathbf {n} =0}$、 どこ${\displaystyle \mathbf {n} }$は側壁に垂直な単位ベクトルです（側壁では滑りなし境界条件を課すことはできません）。境界は一定圧力にさらされる領域である場合もあります。その場合、ディリクレ境界条件が適用されます。${\displaystyle p}$が適切である。同様に、周期境界条件も使用できる。また、第一近似における垂直速度成分は、

${\displaystyle v_{z}=0}$

これは連続の式から導かれる。速度の大きさは${\displaystyle {\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}$変化する${\displaystyle z}$方向、速度ベクトルの方向${\displaystyle \tan ^{-1}(v_{y}/v_{x})}$独立している${\displaystyle z}$方向、つまり各レベルでの流線パターンは類似している。渦度ベクトル${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$構成要素^{[ 6 ]}

${\displaystyle \omega _{x}={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}(h-2z),\quad \omega _{y}=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}(h-2z),\quad \omega _{z}=0.}$

以来${\displaystyle \omega _{z}=0}$流線パターン${\displaystyle xy}$したがって、平面はポテンシャル流（非回転流）に対応します。ポテンシャル流とは異なり、ここでは循環${\displaystyle \Gamma }$閉じた輪郭の周囲${\displaystyle C}$（${\displaystyle xy}$-平面)、固体物体を囲んでいるかどうかに関わらず、ゼロです。

${\displaystyle \Gamma =\oint _{C}v_{x}dx+v_{y}dy=-{\frac {1}{2\mu }}z(h-z)\oint _{C}\left({\frac {\partial p}{\partial x}}dx+{\frac {\partial p}{\partial y}}dy\right)=0}$

最後の積分はゼロに設定される。${\displaystyle p}$これは一価関数であり、積分は閉じた経路上で行われます。

ヘレ・ショーセルという用語は、流体が浅い形状の上部または下部から注入され、流体が別の液体または気体によって境界付けられている場合によく使用されます。^{[ 7 ]}このような流れの場合、境界条件は圧力と表面張力によって定義されます。

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