分離正則性に関するハートッグスの定理

数学において、ハートッグスの定理は、フリードリヒ・ハートッグスが​​複素変数理論で導き出した基本的な結果です。大まかに言えば、この定理は「個別に解析的な」関数は連続であると述べています。より正確には、 が各変数z _i（1 ≤ i ≤ n ）について解析的な関数であり、他の変数が一定である場合、Fは連続関数です。 ${\displaystyle F:{\textbf {C}}^{n}\to {\textbf {C}}}$

帰結として 、関数F は実際にはn変数の意味で解析関数である（つまり、局所的にはテイラー展開を持つ）ことになる。したがって、多変数複素数理論では、「個別解析性」と「解析性」は一致する概念である。

関数が連続的（または有界）であるという追加の仮定から始めると、定理ははるかに簡単に証明でき、この形式ではオズグッドの補題として知られています。

この定理は実変数には当てはまらない。関数が 各変数ごとに微分可能（あるいは解析的）で あると仮定すると、必ずしも連続になるわけではない。2次元での反例は次式で与えられる。 ${\displaystyle f\colon {\textbf {R}}^{n}\to {\textbf {R}}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}.}$

さらに を定義すると、この関数はおよびにおいて明確に定義された偏導関数を持ちますが、原点で連続ではありません。(実際、との線に沿った極限は等しくないため、 の定義を拡張して原点を含め、関数がそこで連続するようにすること はできません。)${\displaystyle f(0,0)=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle x=-y}$${\displaystyle f}$

• スティーブン・G・クランツ著『複素変数関数理論』AMSチェルシー出版、プロビデンス、ロードアイランド、1992年。
• フックス、ボリス・アブラモビッチ（1963）。複素変数の解析関数の理論。アメリカ数学会。ISBN 978-1-4704-4428-0。
• ヘルマンダー、ラース（1990）[1966]、「多変数複素解析入門（第3版）」、北ホラント、ISBN 978-1-493-30273-4

• 「ハートッグスの定理」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]

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