Loading article…
幾何学において、ヘルマン・モーガン表記法は、点群、平面群、空間群における対称要素を表すために使用される。この表記法は、ドイツの結晶学者カール・ヘルマン（1928年に導入）とフランスの鉱物学者シャルル・ヴィクトール・モーガン（1931年に修正）にちなんで名付けられた。この表記法は、1935年の初版以来、 国際結晶学表の標準として採用されているため、国際表記法と呼ばれることもある。
ヘルマン・モーガン記法はシェーンフライス記法と比較して、並進対称要素を簡単に含めることができ、対称軸の方向を指定できるため、結晶学では好まれています。 [1] [2]
点群
回転軸は、 n – 1、2、3、4、5、6、7、8、...の番号で表されます（回転角度φ = 360°/ん）。不完全な回転の場合、ヘルマン・モーガン記号は、回転鏡映軸を示すシェーンフライ記法やシュブニコフ記法とは異なり、回転反転軸を示します。回転反転軸は、対応する数字にマクロンを付けて表され、 n – 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、... となります。 2は鏡像平面に相当し、通常は m と表記されます。鏡像平面の方向は、鏡像平面に垂直な方向（ 2軸の方向）として定義されます。
ヘルマン・モーガン記号は、非等価な軸と平面を対称的に表す。対称要素の方向は、ヘルマン・モーガン記号内の位置に対応する。回転軸nと鏡面mが同じ方向である場合、それらは分数として表されるん/メートルまたは n /m。
2 つ以上の軸が同じ方向を向いている場合は、対称性が高い軸が表示されます。対称性が高いということは、軸がより多くの点を持つパターンを生成することを意味します。たとえば、回転軸 3、4、5、6、7、8 は、それぞれ 3、4、5、6、7、8 点のパターンを生成します。不適切な回転軸3、4、5、6、7、8 は、それぞれ 6、4、10、6、14、8 点のパターンを生成します。回転軸と回転反転軸が同じ数の点を生成する場合は、回転軸を選択する必要があります。たとえば、3/メートル の組み合わせは6に相当します。6は6 点を生成し、3 は 3 点しか生成しないため、の代わりに6と記述する必要があります。3/メートル（ではない）6/メートル、6 にはすでに鏡面 m が含まれているため)。同様に、3 と3軸の両方が存在する場合は、3 と書く必要があります。ただし、次のように書きます4/メートル、ではない4/メートル、4と4はどちらも4つの点を生成するからです。の場合、6/メートル の組み合わせでは、 2、3、6、3、6軸が存在し、右の図に示すように、軸3、6、6はすべて 6 ポイント パターンを生成しますが、後者は回転軸であるため使用する必要があります。シンボルはになります 。6/メートル .
最後に、ヘルマン・モーギャン記号は群のタイプ[説明が必要]に依存します。
高次の軸を持たないグループ（3次以上の軸）
これらのグループには、2つの軸、鏡面、および/または反転中心のみが含まれる場合があります。これらは、結晶学の点群1と1（三斜晶系）、2、m、およびです。2/メートル (単斜晶系)、および 222、2/メートル 2/メートル 2/メートル、および mm2 (斜方晶)。 ( の短縮形)2/メートル 2/メートル 2/メートル はmmm です。) シンボルに 3 つの位置が含まれている場合、それらはそれぞれx、y、z方向の対称要素を表します。
1つの高次軸を持つグループ
- 最初の位置 -主方向 -高次軸に割り当てられたZ方向。
- 2番目の位置 – z軸に垂直な対称的に等価な2番目の方向。これらは2、m、または 2/メートル .
- 3番目の位置 – 対称的に同等な3番目の方向、2番目の方向の間を通過する[説明が必要]。これらは2、m、または 2/メートル .
これらは結晶学上のグループ3、32、3m、3 、および3である。2/メートル (三方晶系) 、4、422、4mm、4、4 2m、4/メートル、および4/メートル 2/メートル 2/メートル (四方形)、および 6, 622, 6mm、 6 , 6 m2、 6/メートル、および6/メートル 2/メートル 2/メートル (六方晶系)。同様に、非結晶学的なグループ (軸の順序が 5、7、8、9、...) の記号も作成できます。これらのグループは次の表のように配置できます。
奇数次の軸nとn を持つグループでは、シンボルの 3 番目の位置は常に存在しないことに注意することができます。これは、高次の軸に垂直なすべてのn方向が対称的に同等であるためです。たとえば、三角形の図では、3 つの鏡面 ( S 0、S 1、S 2 ) はすべて同等です。つまり、すべてが 1 つの頂点と反対側の中心を通過します。偶数次の軸nとnの場合、 ん/2二次方向とん/2三次方向。たとえば、正六角形の図では、2組の鏡面を区別できます。3つの平面は2つの反対の頂点を通り、他の3つの平面は反対の辺の中心を通ります。この場合、2つのセットのいずれかを二次方向として選択でき、残りのセットは三次方向になります。したがって、グループ4 2m、6 2m、8 2m、... は、 4 m2、6 m2、8 m2 、...と記述できます。点群の記号の場合、この順序は通常重要ではありません。ただし、対応する空間群のヘルマン-モーガン記号では重要になります。ここで、二次方向は単位セルの移動bとcに沿った対称要素の方向であり、三次方向は単位セルの移動bとcの間の方向に対応します。たとえば、記号 P 6 m2 と P 6 2m は、2つの異なる空間群を示します。これは、奇数次の軸 3 と3 を持つ空間群の記号にも適用されます。垂直対称要素は、単位格子の並進bとcに沿って、またはそれらの間を移動できます。空間群 P321 と P312 は、それぞれ前者と後者の例です。
点群3の記号2/メートル は混乱を招くかもしれません。対応するシェーンフライの記号はD 3 dで、これは、群が 3 倍軸、3 つの垂直な 2 倍軸、およびこれらの 2 倍軸の間を通過する 3 つの垂直な対角平面で構成されることを意味するため、群は 32m または 3m2 と表記できるようです。ただし、シェーンフライの表記法とは異なり、ヘルマン・モーガン記号の平面の方向は平面に垂直な方向として定義され、D 3 d群ではすべてのミラー平面が 2 倍軸に垂直であるため、 と同じ位置に記述する必要があることに注意してください。2/メートル . 第二に、これらの2/メートル複合体は反転中心を生成し、それが 3 回転回転軸と組み合わさって3回転反転軸を生成します。
n = ∞の群は 極限群またはキュリー群と呼ばれます。
複数の高次軸を持つグループ
これらは立方晶系の結晶群である: 23, 432, 2/メートル 3、 4 3m、および4/メートル 3 2/メートル。これらはすべて、4 つの対角 3 倍軸を含みます。これらの軸は、立方体内の 3 倍軸として配置され、その 4 つの空間対角線に沿って方向付けられます (立方体には4/メートル 3 2/メートル対称性）。これらのシンボルは次のように構築されます。
- 最初の位置 – 座標軸x、y、zの方向は対称的に等価です。これらは、対角の 3 倍の軸が存在するため等価です。
- 2 番目の位置 - 対角 3 または3軸。
- 3番目の位置 – 3つの座標軸x、y、zのいずれか2つの間の対角方向。これらは2、m、またはになります。2/メートル .
上で示したヘルマン・モーガン記号はすべて完全記号と呼ばれます。多くのグループでは、 のn倍回転軸を省略することで簡略化できます。ん/メートル の位置。これは、シンボルに表示されている対称要素の組み合わせから回転軸が明確に得られる場合に実行できます。たとえば、の短縮シンボルは2/メートル 2/メートル 2/メートル はmmm です。4/メートル 2/メートル 2/メートルは4/メートル mm、および4/メートル 3 2/メートル はm 3 m です。1 つの高次の軸を含むグループでは、この高次の軸を省略することはできません。たとえば、記号4/メートル 2/メートル 2/メートルと6/メートル 2/メートル 2/メートルは 4/mmm （または4/メートル mm）および6/mmm（または6/メートル mm）ですが、mmm （3の短縮記号）にはなりません。 2/メートルは3 mです。32 個の結晶点群すべての完全な記号と短縮記号は、結晶点群のページに記載されています。
5 つの立方群の他に、さらに 2 つの非結晶学的二十面体群 (シェーンフライス記法ではIとI h ) と 2 つの極限群 (シェーンフライス記法ではKとK h ) がある。ヘルマン・モーガン記号は非結晶学的群用に設計されたものではないため、その記号はむしろ名目上のものであり、立方晶系の結晶学的群の記号との類似性に基づいている。[3] [4] [5] [6] [7]群I は235、25、532、53 と表記できる。I h の可能な短縮記号はm 35、m 5、m 5 m、53 m である。極限群Kの可能な記号は∞∞または 2∞ であり、K hの可能な記号は ∞/メートル ∞ または m ∞または ∞∞m。
平面グループ
平面群は、ヘルマン・モーガン システムを使用して表すことができます。最初の文字は小文字のpまたはcで、原始単位胞または中心単位胞を表します。次の数字は、上記のように回転対称性です。鏡面の存在はmで示され、すべり反射はgのみで示されます。2次元空間には スクリュー軸は存在しません。
空間群
空間群の記号は、格子の種類を表す大文字と対称要素を指定する記号を組み合わせて定義されます。対称要素は、対応する点群 (空間群からすべての並進成分を取り除いた場合に得られる群) の記号と同じ順序で並べられます。対称要素の記号はより多様です。これは、回転軸と鏡面に加えて、空間群にはより複雑な対称要素 (回転と並進の組み合わせ) や滑空面 (鏡映と並進の組み合わせ) が含まれる場合があるためです。結果として、多くの異なる空間群が同じ点群に対応する可能性があります。たとえば、異なる格子の種類と滑空面を選択すると、点群 mmm から 28 の異なる空間群 (例: Pmmm、Pnnn、Pccm、Pban、Cmcm、Ibam、Fmmm、Fddd など) を生成できます。場合によっては、点群に並進を単純に追加するだけで空間群が生成されることもあります。[8]他の場合には、点群が適用される点はありません。表記はやや曖昧で、より詳しい情報を示す表はありません。たとえば、空間群I23とI2 1 3（番号197と199）はどちらも2倍の回転軸と2倍のねじ軸を含んでいます。前者では2倍の軸が3倍の軸と交差しますが、後者では交差しません。[9]
格子型
これらは3 次元の ブラベー格子タイプです。
- P – プリミティブ
- I – 体の中心（ドイツ語の「Innenzentriert」から）
- F – 顔の中心（ドイツ語の「Flächenzentriert」より）
- A – A面のみを中心としたベース
- B – B面のみを中心とするベース
- C – C面のみを中心とするベース
- R – 菱面体
スクリュー軸
ねじ軸は数値nで表され、回転角度は360°/ん。次に、平行格子ベクトルの一部として、軸に沿ってどれだけ移動したかを示す下付き文字として移動の度合いが追加されます。たとえば、2 1は 180° (2 倍) の回転の後にの移動が続きます。1/2格子ベクトルの 3 1は 120° (3 倍) 回転の後にの平行移動が続く。1/3格子ベクトルの。
可能なスクリュー軸は、2 1、3 1、3 2 、 4 1、4 2、4 3 、6 1、 6 2、6 3、6 4、および 6 5です。軸のエナンチオモルフィックなペアは、(3 1 – 3 2 )、(4 1 – 4 3 )、(6 1 – 6 5 )、および(6 2 – 6 4 )の4つあります。このエナンチオモルフィックな空間群のペアは、次の11組になります。
滑空機
すべり面の方向は、鏡面の場合と同様に、ヘルマン・モーガン指定の記号の位置で示されます。すべり面は、すべりがどの軸 (方向) に沿っているかによって、a、b、またはcで示されます。また、面の対角線の半分に沿ったすべりであるnすべりや、単位格子の面または空間対角線の 4 分の 1 に沿ったdすべりもあります。 dすべりは、ダイヤモンド構造を特徴とするため、ダイヤモンドすべり面と呼ばれることがよくあります。 a、b、cのうち 2 つの可能性がある場合( aまたはbなど)、文字eが使用されます (これらの場合、センタリングは両方のすべりが発生することを意味します)。要約すると、次のようになります。
- a、b、またはcは、この面の格子ベクトルの半分に沿って移動します。
- n面の半分の対角線に沿って滑るように移動。
- d面の対角線または空間の対角線の 4 分の 1 に沿って移動するグライド平面。
- 同じ滑空面を持つ 2 つの滑空と、2 つの (異なる) 半格子ベクトルに沿った移動です。
参考文献
- ^ Sands, Donald E. (1993). 「結晶系と幾何学」.結晶学入門. ミネオラ、ニューヨーク: Dover Publications, Inc. p. 54. ISBN 0-486-67839-3。
- ^ Hahn, Th.; Klapper, H. 「第10.1章 結晶学的および非結晶学的点群」。国際結晶学表。 2022年12月5日閲覧。
- ^ “(International Tables) Abstract”. it.iucr.org . 2013年7月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年2月2日閲覧。
- ^ ゾルキー、ペトル。 「Семейства точечных групп」。www.chem.msu.su。 2012 年 4 月 15 日にオリジナルからアーカイブされました。
- ^ Vainshtein, Boris K.、「現代結晶学1：結晶の基礎、対称性、および構造結晶学の方法」、Springer。1994年、93ページ。
- ^ 3次元の点群
- ^ Shubnikov, AV, Belov, NV他著『Colored Symmetry』オックスフォード: Pergamon Press。1964年、70ページ。
- ^ ドナルド・サンズ (1975)。「結晶系と幾何学」。結晶学入門(PDF)。クーリエ社。p. 72。ISBN 0-486-67839-3。
- ^ 空間群 197 の対称操作を空間群 199 の対称操作と比較します。
外部リンク
- ヘルマン・マガン表記法の解読 - 初心者向けのヘルマン・マガン表記法の入門。