グリーンの関係

数学において、グリーン関係は、半群の要素をそれらが生成する主イデアルの観点から特徴付ける5 つの同値関係である。この関係は、1951 年の論文でこれを発表したジェームズ・アレクサンダー・グリーンにちなんで名付けられた。著名な半群理論家であるジョン・マッキントッシュ・ハウイーは、この研究を「非常に普遍的なので、新しい半群に遭遇すると、ほとんど最初に尋ねる質問は「グリーン関係はどのようなものか?」である」と述べている (Howie 2002)。この関係は、半群の可分性の性質を理解するのに役立ちます。また、この関係は群にも有効ですが、この場合は群が常に可分性を持つため、何も役に立ちません。

半群Sを直接操作する代わりに、モノイド S ¹上のグリーン関係を定義すると便利です。( S ¹は「必要に応じて恒等元が付加されたS 」です。 Sがモノイドでない場合は、新しい要素が付加され、恒等元として定義されます。) これにより、ある半群の要素によって生成された主イデアルにその要素が実際に含まれることが保証されます。 Sの要素aの場合、関連するイデアルは次のとおりです。

• によって生成される主左イデアル:。これは と同じであり、 です。${\displaystyle S^{1}a=\{sa\mid s\in S^{1}\}}$${\displaystyle \{sa\mid s\in S\}\cup \{a\}}$${\displaystyle Sa\cup \{a\}}$
• によって生成される主右イデアル:、または同等の。${\displaystyle aS^{1}=\{as\mid s\in S^{1}\}}$${\displaystyle aS\cup \{a\}}$
• によって生成される主要な両側イデアル:、または。${\displaystyle S^{1}aS^{1}}$${\displaystyle SaS\cup aS\cup Sa\cup \{a\}}$

Sの要素aとbに対して、グリーン関係L、R、J は次のように定義されます。

• S ¹ a = S ¹ bのときのみ、a L b となります。
• a R bである場合、かつその場合のみa S ¹ = b S ¹。
• a J bである場合に限り、S ¹ a S ¹ = S ¹ b S ¹。

つまり、aとb が同じ左イデアルを生成する場合はL関連、同じ右イデアルを生成する場合はR関連、同じ両側イデアルを生成する場合はJ関連です。これらはS上の同値関係であるため、それぞれSを同値類に分割します。aのLクラスはL _aと表記されます(他の関係についても同様)。LクラスとRクラスは、 S ¹の左および右ケイリー グラフの強連結成分として同義に理解できます。^[1]さらに、L、R、およびJ関係は、 ≤ _L、 ≤ _R、および ≤ _Jの 3 つの前順序を定義します。ここで、a ≤ _J b は、 Sの2 つの要素aとbに対して、 aによって生成されるイデアルがbのイデアルに含まれる場合に成立します。つまり、S ¹ a S ¹ ⊆ S ¹ b S ¹であり、 ≤ _Lと ≤ _Rも同様に定義されます。^[2]

グリーンはこれらの関係式に小文字の 、 、 を使用し、 a 、L 、bを（ R、Jについても同様）書きました。今日の数学者は代わりに などのスクリプト文字を使用する傾向があり、グリーンのモジュラー算術スタイルの表記法をここで使用されている挿入形式に置き換えています。同値類には通常の文字が使用されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$${\displaystyle a\equiv b({\mathfrak {l}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

LとR の関係は互いに左右の双対です。一方に関する定理は、他方に関する同様の記述に変換できます。たとえば、L は右互換です。つまり、 a L bかつcがSの別の要素である場合、ac L bcです。同様に、R は左互換です。つまり、 a R bである場合、ca R cb です。

Sが可換である場合、L、R、Jは一致します。

残りの関係はLとRから導かれます。それらの共通部分はHです。

a H bである場合、かつa L bかつa R b である場合に限ります。

これはS上の同値関係でもあります。クラスH _{a は}L _aとR _aの積集合です。より一般的には、任意のLクラスと任意のRクラスとの積集合はHクラスか空集合 のいずれかです。

グリーンの定理は、半群 S の任意の-クラスHに対して、 (i)または (ii)のいずれかであり、H はSのサブグループであることを述べています。重要な系として、eがべき等元である同値類H _eはSのサブグループ(その恒等元はeで、すべての要素には逆元がある) であり、実際はe を含むSの最大のサブグループであるということです。-クラスは複数のべき等元を含むことはできないため、はべき等分離です。モノイドMでは、クラスH _{1は伝統的に}単位群と呼ばれています。^[3] (この文脈では単位は単位元を意味しないことに注意してください。つまり、一般にH ₁には非恒等元があります。「単位」という用語は環理論に由来します。) たとえば、n個の要素を持つ変換モノイドT _nでは、単位群は対称群S _nです。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle H^{2}\cap H=\emptyset }$${\displaystyle H^{2}\subseteq H}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

最後に、D は次のように定義されます: Sにc が存在してa L cかつc R bとなる場合のみ、a D bとなります。束の言語では、D はLとRの結合です。(同値関係の結合は通常は定義がより困難ですが、この場合は、何らかのcに対してa L cかつc R b となるのは、何らかのdに対してa R dかつd L bとなる場合のみであるという事実によって単純化されます。)

D はLとR の両方を含む最小の同値関係なので、 D b はJ bを意味することがわかります。つまり、J はD を含みます。有限半群では、DとJ は同じであり、^[4]有理モノイドでも同じです。^{[5] [説明が必要]さらに、任意の}エピグループ でも一致します。^[6]

上記の定義から直接導かれる同値類によるDの定式化もある: ^[7]

R _aとL _bの交差が空でない場合に限り、 a D bとなります。

その結果、半群のDクラスは、 Lクラスの和集合、 Rクラスの和集合、またはHクラスの和集合として見ることができる。クリフォードとプレストン(1961) は、この状況を「卵箱」の観点から考えることを提案している。^[8]

卵の各行はRクラス、各列はLクラスを表します。卵自体はHクラスです。グループの場合、5 つのグリーン関係がすべて一致し、グループのすべての要素が同等になるため、卵は 1 つだけです。反対の場合、たとえば双環半群では、各要素が独自のHクラスに属しています。この半群の卵箱には無限個の卵が含まれますが、 Dクラスは1 つしかないため、すべての卵が同じ箱に入っています。(すべての要素がDに関連している半群は​​双単純 と呼ばれます。)

Dクラス内では、すべてのHクラスが同じサイズであることが示されます。たとえば、変換半群T ₄には4 つのDクラスが含まれ、その中のHクラスにはそれぞれ 1、2、6、24 個の要素があります。

半群の組合せ論における最近の進歩は、グリーンの関係を使用して、特定の特性を持つ半群を列挙するのに役立っています。典型的な結果 (Satoh、Yama、Tokizawa 1994) は、位数 8 の非同値な半群が正確に 1,843,120,128 個存在し、そのうち 221,805 個は可換であることを示しています。彼らの研究は、可能性のあるDクラスの体系的な調査に基づいています。(対照的に、位数 8 のグループは 5 つしかありません。)

完全な変換半群T _{3 は}、集合 {1, 2, 3} からそれ自身へのすべての関数で構成されます。このうち 27 個あります。1 を a に、 2 を b に、 3 を c に送る関数を ( a b c ) と書きます。T 3には恒等写像( 1 2 3 ₎が含まれているため、恒等写像を付加する必要はありません。

T ₃の卵箱図には3 つのDクラスがあります。これらの関係は有限半群と一致するため、これらはJクラスでもあります。

T ₃では、2つの関数がL関連となるのは、それらが同じ像を持つ場合のみです。このような関数は、上の表の同じ列に現れます。同様に、関数fとgがR関連となるのは、次の場合のみです。

f ( x ) = f ( y ) とg ( x ) = g ( y ) の関係

xとy が{1, 2, 3} の範囲にある場合、このような関数は同じ表の行にあります。したがって、2 つの関数がDに関連するのは、それらの画像が同じサイズである場合のみです。

太字の要素は冪等元です。これらのいずれかを含むHクラスは、(最大) 部分群です。特に、3 番目のDクラスは対称群S _{3と同型です。また、位数 2 の部分群が 6 つ、位数 1 の部分群が 3}つあります (これらの部分群の部分群も同様です)。T ₃の 6 つの要素は、どの部分群にも属しません。

代数理論を一般化する方法は基本的に 2 つあります。1 つは、より多くのまたは異なるオブジェクトをカバーするように定義を変更することです。もう 1 つのより微妙な方法は、理論の望ましい結果を見つけて、その結論に到達するための別の方法を検討することです。

最初のルートに従って、グリーンの関係の類似バージョンが半環(Grillet 1970) と環 (Petro 2002) に対して定義されました。半群の関係に関連付けられた特性の一部 (すべてではありません) は、これらのケースにも引き継がれます。半群の世界にとどまると、グリーンの関係は、部分半群に関してのみイデアルである部分集合である相対イデアルをカバーするように拡張できます (Wallace 1963)。

2 つ目の一般化では、研究者はLクラスとRクラス間の全単射の特性に注目してきました。 x R yの場合、常にL _xとL _yの間でRクラスを保持する全単射を見つけることができます。(つまり、Lクラスの 2 つの要素が同じRクラスにある場合、全単射によるそれらのイメージは同じRクラスにあります。) x L yの双対ステートメントも成り立ちます。これらの全単射は、適切な同値類に制限された右方向および左方向の変換です。ここで生じる疑問は、他にどのような全単射があり得るかということです。

Λ と Ρ が何らかの半群Sの部分変換の半群であるとする。ある条件下では、x Ρ = y Ρ （x ρ ₁ = y、y ρ ₂ = x）のとき、制約

ρ ₁  : Λ x → Λ y

ρ ₂  : Λ y → Λ x

は互いに逆一対一です。（慣例的に、Λの場合は引数は右側に、Ρの場合は左側に書きます。）すると、LとRの関係は次のように定義できます。

x L y の場合のみ Λ x = Λ y

x R y の場合、かつその場合に限りx Ρ = y Ρ

DとH は通常どおり続きます。J の一般化は、目的の特性に何ら影響を与えないため、このシステムの一部ではありません。

(Λ, Ρ) をグリーンのペアと呼びます。元の関係式を生成する部分変換半群にはいくつかの選択肢があります。1 つの例は、 Λ をS ^{1上のすべての左変換の半群}( Sに制限) とし、 Ρ を対応する右変換の半群とすることです。

これらの定義は、Clark と Carruth (1980) によるものです。これらは、Wallace の研究と、1970 年代半ばに提案されたその他のさまざまな一般化された定義を包含しています。公理全体を述べるとかなり長くなりますが、非公式に言えば、最も重要な要件は、Λ と Ρ の両方に恒等変換が含まれ、Λ の要素が Ρ の要素と交換可能であることです。

• シュッツェンベルガーグループ

• CE ClarkとJH Carruth (1980)一般化されたグリーン理論、セミグループフォーラム20(2); 95–127。
• AH Clifford と GB Preston (1961) The Algebraic Theory of Semigroups、第 1 巻、(1967) 第 2 巻、American Mathematical Society、グリーンの関係は第 1 巻の第 2 章で紹介されています。
• JA Green (1951年7月)「半群の構造について」、Annals of Mathematics (第2シリーズ) 54(1): 163–172。
• Grillet, Mireille P. (1970). 「半環におけるグリーンの関係」. Port. Math . 29 : 181–195. Zbl  0227.16029.
• John M. Howie (1976) An introduction to Semigroup Theory、Academic Press ISBN 0-12-356950-8。更新版はFundamentals of Semigroup Theory、Oxford University Press、1995 年ISBN 0-19-851194-9として入手可能です。  
• John M. Howie (2002)「半群の過去、現在、そして未来」、代数とその応用に関する国際会議の議事録、チュラロンコン大学、タイ
• ローソン、マーク V. (2004)。有限オートマトン。チャップマン＆ホール/CRC。ISBN 1-58488-255-7.ZBL1086.68074  。​
• Petraq Petro (2002) 「グリーン関係と環における極小準イデアル」Communications in Algebra 30(10):4677–4686。
• S. Satoh, K. Yama, M. Tokizawa (1994)「位数8の半群」、Semigroup Forum 49: 7–29。
• Gomes, GMS; Pin, JE; Silva, JE (2002)。半群、アルゴリズム、オートマトン、言語。2001 年 5 月、 6月、7 月にポルトガルのコインブラにある国際数学センター (CIM) で開催されたワークショップの議事録。World Scientific。ISBN 978-981-238-099-9.ZBL1005.00031  。​