ケルビン・ヘルムホルツ機構

ケルビン・ヘルムホルツ機構は、恒星や惑星の表面が冷えるときに起こる天文学的プロセスである。冷却によって内部圧力が低下し、その結果恒星や惑星が収縮する。この圧縮によって、恒星/惑星の中心核が加熱される。このメカニズムは、木星や土星、および中心温度が水素融合を起こすほど高くない褐色矮星で明らかである。木星は、このメカニズムを通じて太陽から受け取るエネルギーよりも多くのエネルギーを放射すると推定されているが、土星はそうではないかもしれない。木星はこのプロセスによって約1 mm/年の速度で収縮すると推定されており、^{[1]これは、7.485 W/m 2}の内部フラックスに相当する。^[2]

このメカニズムはもともと、太陽のエネルギー源を説明するために 19 世紀後半にケルビンとヘルムホルツによって提案されました。19 世紀半ばまでにエネルギー保存則が受け入れられ、この物理法則の 1 つの帰結として、太陽が輝き続けるためには何らかのエネルギー源が必要であることが分かりました。核反応は未知であったため、太陽エネルギー源の主な候補は重力収縮でした。

しかし、アーサー・エディントン卿らはすぐに、このメカニズムで得られるエネルギーの総量では、太陽は地質学的および生物学的証拠が示唆する地球の年齢の数十億年ではなく、数百万年しか輝いていないことを認識しました。（ケルビン自身は、地球の年齢は数十億年ではなく数百万年であると主張していました。）太陽のエネルギーの真の源は、1930年代にハンス・ベーテによって核融合であることが示されるまで不明のままでした。

太陽の収縮による重力の位置エネルギーが太陽の動力源になるという理論が立てられました。そのようなメカニズムで太陽から放出されるエネルギーの総量を計算するために (均一な密度を想定)、太陽は同心円状の殻で構成された完全な球に近似されました。すると、重力の位置エネルギーは、中心から外半径までのすべての殻の積分として求められます。

ニュートン力学による重力ポテンシャルエネルギーは次のように定義される: ^[3]

${\displaystyle U=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r}},}$

ここで、Gは重力定数であり、この場合の2つの質量は、幅drの薄い殻の質量と、半径r内に含まれる質量であり、0と球全体の半径の間で積分すると次の式が得られます。^[3]

${\displaystyle U=-G\int _{0}^{R}{\frac {m(r)4\pi r^{2}\rho }{r}}\,dr,}$

ここで、Rは球の外半径、m ( r )は半径rに含まれる質量です。積分を満たすようにm ( r )を体積と密度の積に置き換えると、^[3]

${\displaystyle U=-G\int _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{3}\rho 4\pi r^{2}\rho }{3r}}\,dr=-{\frac {16}{15}}G\pi ^{2}\rho ^{2}R^{5}.}$

球の質量で表すと、総重力位置エネルギーは^{[3]のように表される。}

${\displaystyle U=-{\frac {3GM^{2}}{5R}}.}$

ビリアル定理によれば、平衡状態にある重力結合系の全エネルギーは時間平均位置エネルギーの半分であり、

${\displaystyle U_{r}={\frac {|\langle U\rangle |}{2}}={\frac {3GM^{2}}{10R}}.}$

均一な密度は正しくありませんが、太陽の質量と半径の既知の値を入力し、それを太陽の既知の光度で割ることで、恒星の予想年齢の大まかな推定値を得ることができます（太陽のエネルギー出力は常に一定ではないため、これには別の近似値が必要になることに注意してください）。^[3]

${\displaystyle {\frac {U_{\text{r}}}{L_{\odot }}}\approx {\frac {1.1\times 10^{41}~{\text{J}}}{3.828\times 10^{26}~{\text{W}}}}=2.874\times 10^{14}~\mathrm {s} \,\approx 8\,900\,000~{\text{年}},}$

ここで、は太陽の明るさです。この値は、化学エネルギーなどの他の多くの物理的方法よりもかなり長い間十分なエネルギーを与えますが、地球の年齢が数十億年であるという地質学的および生物学的証拠を考えると、明らかにまだ十分ではありませんでした。最終的に、熱核エネルギーが星のエネルギー出力と長い寿命の原因であることが判明しました。^[4]${\displaystyle L_{\odot}}$

木星の内部熱流束は、全エネルギーの時間に応じた微分で与えられる。

${\displaystyle {\frac {dU_{r}}{dt}}={\frac {-3GM^{2}}{10R^{2}}}{\frac {dR}{dt}}=-1.46\times 10^{28}~{\text{[J/m]}}~\times {\frac {dR}{dt}}~{\text{[m/s]}}.}$

を縮小すると、 ${\textstyle -1\mathrm {\frac {~mm}{yr}} =-0.001\mathrm {\frac {~m}{yr}} =-3.17\times 10^{-11}~\mathrm {\ frac {m}{s}} }$

${\displaystyle {\frac {dU_{r}}{dt}}=4.63\times 10^{17}~{\text{W}},}$

木星の全面積で割ると 、 ${\displaystyle S=6.14\times 10^{16}~\mathrm {m^{2}} }$

${\displaystyle {\frac {1}{S}}{\frac {dU_{r}}{dt}}=7.5~\mathrm {\frac {W}{m^{2}}} .}$

もちろん、通常はこの式を逆方向に計算します。内部熱の比流束の実験値 7.485 W/m ^{2 は、2000 年 12 月 30 日の接近通過時に}カッシーニ探査機によってその場で行われた直接測定から得られ、収縮量は約 1 mm/年となり、実際の測定の限界をわずかに下回る数値となります。