グラッド・シャフラノフ方程式

グラッド・シャフラノフ方程式（ヴィタリー・ドミトリエヴィチ・シャフラノフ（1957）、H.グラッドおよびH.ルービン（1958））は、例えばトカマクにおける軸対称トロイダルプラズマなど、 2次元プラズマに対する理想磁気流体力学（MHD）の平衡方程式である。この方程式は、流体力学のヒックス方程式と同じ形式をとる。^{[ 1 ]}この方程式は、理想MHD方程式を2次元に還元することによって得られる2次元非線形楕円型偏微分方程式であり、多くの場合、トロイダル軸対称の場合（トカマクで関連する場合）に用いられる。${\displaystyle (r,\theta ,z)}$円筒座標系では、フラックス関数${\displaystyle \psi }$方程式によって支配される。

どこ$\displaystyle \mu _{0}}$は透磁率です。${\displaystyle p(\psi )}$圧力は、${\displaystyle F(\psi )=rB_{\theta }}$磁場と電流はそれぞれ次のように与えられる。$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} &={\frac {1}{r}}\nabla \psi \times {\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }+{\frac {F}{r}}{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta },\\\mu _{0}\mathbf {J} &={\frac {1}{r}}{\frac {dF}{d\psi }}\nabla \psi \times {\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }-\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }.\end{aligned}}}$$

平衡状態の性質（トカマク型、逆磁場ピンチ型など）は、主に2つの関数の選択によって決定される。${\displaystyle F(\psi )}$そして${\displaystyle p(\psi )}$境界条件も同様です。

以下では、システムが2次元であると仮定する。${\displaystyle z}$不変軸として、つまり${\textstyle {\frac {\partial }{\partial z}}}$任意の量に対して 0 を生成する。すると磁場はデカルト座標で次のように表される。 $${\displaystyle \mathbf {B} =\left({\frac {\partial A}{\partial y}},-{\frac {\partial A}{\partial x}},B_{z}(x,y)\right),}$$ またはより簡潔に言うと、 $${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla A\times {\hat {\mathbf {z} }}+B_{z}{\hat {\mathbf {z} }},}$$ どこ${\displaystyle A(x,y){\hat {\mathbf {z} }}}$は面内（x成分とy成分）磁場のベクトルポテンシャルです。Bのこの形式に基づくと、任意の磁力線に沿ってAが一定であることがわかります。${\displaystyle \nabla A}$はあらゆる場所でBに垂直である。（また、-Aはフラックス関数であることにも注意。）${\displaystyle \psi }$（上記参照）

2次元の静止した磁気構造は、圧力と磁力のバランスによって記述されます。すなわち、 $${\displaystyle \nabla p=\mathbf {j} \times \mathbf {B} ,}$$ ここで、pはプラズマ圧力、jは電流である。pは任意の磁力線に沿って一定であることが知られている（再び、${\displaystyle \nabla p}$はどこでもBに垂直である。さらに、2 次元の仮定 (${\textstyle {\frac {\partial }{\partial z}}=0}$) は、左辺の z 成分がゼロでなければならないことを意味するので、右辺の磁力の z 成分もゼロでなければなりません。これは、$\displaystyle \mathbf {j} _{\perp }\times \mathbf {B} _{\perp }=0}$つまり${\displaystyle \mathbf {j} _{\perp }}$と並行しています$\displaystyle \mathbf {B} _{\perp }}$。

前述の式の右辺は、2つの部分に分けて考えることができます。 $${\displaystyle \mathbf {j} \times \mathbf {B} =j_{z}({\hat {\mathbf {z} }}\times \mathbf {B_{\perp }} )+\mathbf {j_{\perp }} \times {\hat {\mathbf {z} }}B_{z},}$$ どこで${\displaystyle \perp }$添え字は、に垂直な平面内の成分を表します。${\displaystyle z}$軸。${\displaystyle z}$上記の式における電流の成分は、一次元ベクトルポテンシャルを用いて次のように表すことができる。 $${\displaystyle j_{z}=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla ^{2}A.}$$

面内磁場は $${\displaystyle \mathbf {B} _{\perp }=\nabla A\times {\hat {\mathbf {z} }},}$$ マクスウェル・アンペールの式を用いると、面内電流は次のように与えられる。 $${\displaystyle \mathbf {j} _{\perp }={\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla B_{z}\times {\hat {\mathbf {z} }}.}$$

このベクトルが平行になるには$\displaystyle \mathbf {B} _{\perp }}$必要に応じて、ベクトル$\displaystyle \nabla B_{z}}$垂直でなければならない$\displaystyle \mathbf {B} _{\perp }}$、 そして${\displaystyle B_{z}}$したがって、${\displaystyle p}$は、磁力線不変量である。

上記の外積を整理すると、 $${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}\times \mathbf {B} _{\perp }=\nabla A-(\mathbf {\hat {z}} \cdot \nabla A)\mathbf {\hat {z}} =\nabla A,}$$ そして $${\displaystyle \mathbf {j} _{\perp }\times B_{z}\mathbf {\hat {z}} ={\frac {B_{z}}{\mu _{0}}}(\mathbf {\hat {z}} \cdot \nabla B_{z})\mathbf {\hat {z}} -{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{z}\nabla B_{z}=-{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{z}\nabla B_{z}.}$$

これらの結果を式に代入すると${\displaystyle \nabla p}$結果として得られるもの： $${\displaystyle \nabla p=-\left[{\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla ^{2}A\right]\nabla A-{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{z}\nabla B_{z}.}$$

以来${\displaystyle p}$そして${\displaystyle B_{z}}$は磁力線に沿った定数であり、のみの関数である。${\displaystyle A}$したがって${\displaystyle \nabla p={\frac {dp}{dA}}\nabla A}$そして${\displaystyle \nabla B_{z}={\frac {dB_{z}}{dA}}\nabla A}$したがって、因数分解すると${\displaystyle \nabla A}$項を並べ替えると、グラッド・シャフラノフ方程式が得られる。 $${\displaystyle \nabla ^{2}A=-\mu _{0}{\frac {d}{dA}}\left(p+{\frac {B_{z}^{2}}{2\mu _{0}}}\right).}$$

この導出はトカマクにのみ使用されますが、啓発的な内容です。「トロイダル閉じ込めプラズマの理論 1:3」（ロスコー・ホワイト）の定義を使用して、${\displaystyle {\vec {B}}}$反変基底による${\displaystyle (\nabla \Psi ,\nabla \phi ,\nabla \zeta )}$: $${\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \Psi \times \nabla \phi +{\bar {F}}\nabla \phi ,}$$

我々は持っています${\displaystyle {\vec {j}}}$: $${\displaystyle \mu _{0}{\vec {j}}=\nabla \times {\vec {B}}=-\Delta ^{*}\Psi \nabla \phi +\nabla {\bar {F}}\times \nabla \phi \quad {\text{, where}}\ \Delta ^{*}=r\partial _{r}(r^{-1}\partial _{r})+\partial _{\phi }^{2}{\text{;}}}$$

すると力の平衡方程式は次のようになります。 $${\displaystyle \mu _{0}{\vec {j}}\times {\vec {B}}=\mu _{0}\nabla p{\text{.}}}$$

トレーニングでは、以下のものを用意しています。 $${\displaystyle -\Delta ^{*}\Psi ={\bar {F}}{\frac {d{\bar {F}}}{d\Psi }}+\mu _{0}R^{2}{\frac {dp}{d\Psi }}{\text{.}}}$$

• Grad, H.、および Rubin, H. (1958) Hydromagnetic Equilibria and Force-Free Fields (2023年6月21日にWayback Machineにアーカイブ)。第2回国連原子力平和利用会議議事録、第31巻、ジュネーブ：IAEA、190ページ 。
• Shafranov, VD (1966)磁場中のプラズマ平衡、プラズマ物理学レビュー、第2巻、ニューヨーク：コンサルタンツビューロー、p.  103。
• Woods、Leslie C. (2004)プラズマの物理学、ワインハイム: WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA、第 2.5.4 章
• Haverkort, JW (2009)軸対称理想 MHD トカマク平衡。Grad–Shafranov 方程式、方程式の選択された側面、およびその解析解に関する注記。
• Haverkort, JW (2009)トロイダル流を伴う軸対称理想MHD平衡。トロイダル流の組み込み、運動論モデルおよび二流体モデルとの関係、および特定の解析解についての考察。