地衡風

大気科学において、地衡流( / ˌ dʒ iː ə ˈ s t r ɒ f ɪ k , ˌ dʒ iː oʊ -, - ˈ s t r oʊ -/ ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} ) は、コリオリ力と気圧傾度力の正確なバランスから生じる理論上の風です。この状態は地衡平衡または地衡バランス(地衡法とも呼ばれる )と呼ばれます。地衡風は等圧線(特定の高さにおける一定気圧の線)に平行に向かいます。このバランスは自然界ではほとんど正確には成り立ちません。実際の風は、地面との摩擦などの他の力のために、ほとんどの場合地衡風とは異なります。したがって、実際の風が地衡風と等しくなるのは、摩擦がなく (例えば大気境界層の上)、等圧線が完全に直線である場合のみです。地衡風は、大気運動の原動力としての水平方向の圧力勾配を反映しているにすぎず、実際の地表付近の風は、摩擦力、大気の垂直成層、熱風など複数の要因の相乗的な変調を必要とします。その結果、実際の風速と地衡風速の比、および実際の風と地衡風の風向角の差は、環境条件によって大きく変化します。^{[ 4 ]}それにもかかわらず、熱帯以外の大気の大部分は、ほとんどの場合地衡流に近く、貴重な第一近似となります。空気または水中の地衡流は、ゼロ周波数の慣性波です。

有用なヒューリスティックとして、空気が静止状態から始まり、高気圧領域から低気圧領域に向かう圧力勾配力と呼ばれる力を受けると想像してみましょう。しかし、空気がその力に応じて動き始めると、コリオリ力が空気を偏向させ、北半球では動きの右方向、南半球では左方向に偏向させます。空気が加速するにつれて偏向は大きくなり、コリオリ力の強さと方向が圧力勾配力と釣り合う状態、すなわち地衡平衡状態に達します。この時点で、流れはもはや高気圧から低気圧へではなく、等圧線に沿って移動します。地衡平衡は、北半球では低気圧（サイクロン）が反時計回りに、高気圧（高気圧）が時計回りに回転し、南半球ではその逆になる理由を説明するのに役立ちます。

海水の流れも大部分が地衡流です。大気中の高度に応じて圧力を測定する複数の気象観測気球を用いて大気圧場をマッピングし、地衡風を推定するのと同様に、海洋中の水深に応じて密度を測定することで地衡流を推定します。また、衛星高度計を用いて海面高度異常を測定することで、海面における地衡流を計算することもできます。

空気と陸地の間の摩擦は、地衡平衡を崩します。摩擦によって気流が遅くなり、コリオリの力が弱まります。その結果、気圧傾度力がより強く働き、空気は依然として高気圧から低気圧へと移動しますが、大きく偏向します。これが、高気圧の中心から風が放射状に広がるのに対し、低気圧の中心から風が螺旋状に内側に向かう理由です。

地衡風は摩擦効果を無視しており、これは通常、中緯度中層対流圏の総観規模の瞬間的な流れの良い近似値である。^{[ 5 ]}非地衡項は比較的小さいが、流れの時間的変化には不可欠であり、特に嵐の成長と衰退には必要である。準地衡理論と半地衡理論は、大気中の流れをより広範囲にモデル化するために使用される。これらの理論は、発散が発生し、その後気象システムが発達することを可能にする。

空気塊に作用する力が圧力勾配、重力、摩擦力のみである場合、ニュートンの第二法則は次のように表すことができます。ここで、太字の記号はベクトルを表します。

$${\displaystyle {D{\boldsymbol {U}} \over Dt}=-{1 \over \rho }\nabla p-2{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {g}}+{\boldsymbol {F}}_{r}}$$

ここで、Uは空気の速度場、Ωは惑星の角速度ベクトル、ρは空気の密度、P は気圧、F _rは摩擦、gは重力による加速度ベクトル、⁠ D / D t ⁠は物質微分です。

局所的には、これはデカルト座標系で展開でき、正のuは東方向、正のvは北方向を表す。テイラー・プラウドマンの定理によって正当化されるように、摩擦と垂直方向の運動を無視すると、次のようになる。

${\displaystyle {Du \over Dt}=-{1 \over \rho }{\partial P \over \partial x}+fv+0+0}$

${\displaystyle {Dv \over Dt}=-{1 \over \rho }{\partial P \over \partial y}-fu+0+0}$

${\displaystyle {Dw \over Dt}=-{1 \over \rho }{\partial P \over \partial z}+0-g+0}$

f = 2Ω sin φの場合、コリオリパラメータ(近似的に10⁻⁴ s⁻¹ ^（ 緯度によって変化する）^。

地衡平衡を仮定すると、システムは定常状態となり、最初の2つの式は次のようになります。

${\displaystyle fv={1 \over \rho }{\partial P \over \partial x}}$

${\displaystyle fu=-{1 \over \rho }{\partial P \over \partial y}}$

${\displaystyle -g-{1 \over \rho }{\partial P \over \partial z}=0}$

上記の3番目の式を用いて代入すると、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}fv&={\frac {\;-g\;}{\;{\frac {\partial P}{\partial z}}\;}}{\frac {\partial P}{\partial x}}:={\frac {\;-g\;}{\;c\;}}a\\[5px]fu&=-{\frac {\;-g\;}{\;{\frac {\partial P}{\partial z}}\;}}{\frac {\partial P}{\partial y}}:=+{\frac {\;g\;}{\;c\;}}b\end{aligned}}}$

ここで、zは定圧面のジオポテンシャル高さであり、以下を満たす。

${\displaystyle {\rm {d}}P={\partial P \over \partial x}{\rm {d}}x+{\partial P \over \partial y}{\rm {d}}y+{\partial P \over \partial z}{\rm {d}}z:=a{\rm {d}}x+b{\rm {d}}y+c{\rm {d}}z=0}$

上記の数式をさらに簡略化すると次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}fv&={\frac {\;-g\;}{\;c\;}}a=+g{\biggl (}{\frac {{\rm {d}}z}{{\rm {d}}x}}{\biggr )}_{{\rm {d}}y=0}\\[5px]fu&=+{\frac {\;g\;}{\;c\;}}b=-g{\biggl (}{\frac {{\rm {d}}z}{{\rm {d}}y}}{\biggr )}_{{\rm {d}}x=0}\end{aligned}}}$

これにより、地衡風成分に関して以下の結果が得られる。

${\displaystyle v_{g}={g \over f}{{\rm {d}}z \over {\rm {d}}x}}$

${\displaystyle u_{g}=-{g \over f}{{\rm {d}}z \over {\rm {d}}y}}$

この近似の妥当性は、局所的なロスビー数に依存する。赤道ではfがゼロになるため、この近似は無効であり、したがって一般的に熱帯地域では使用されない。

この方程式には他の変形も考えられます。例えば、地衡風ベクトルは、一定圧力面上のジオポテンシャルΦの勾配を用いて表すことができます。

${\displaystyle \mathbf {V} _{\mathrm {g} }={\frac {\hat {\mathbf {k} }}{f}}\times \nabla _{p}\Phi }$

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