測地線地図

数学、特に微分幾何学において、測地線写像（または測地線写像、測地線微分同相写像）は、「測地線を保存する」関数である。より正確には、2つの（擬似）リーマン多様体（M、  g）と（N、  h）が与えられたとき、関数φ  ：  M  →  Nが測地線写像であるとは、次の場合を言う。

• φ はM のN上への微分同相写像であり、
• Mの任意の測地線弧のφによる像はNの測地線弧である。
• Nの任意の測地線弧の逆関数 φ ⁻¹による像はMの測地線弧である。

• ( M ,  g ) と ( N ,  h ) が両方とも通常の平坦計量を持つn次元ユークリッド空間E n^である場合、任意のユークリッド等長写像はE ⁿのそれ自身への測地線写像である。
• 同様に、( M、  g )と( N、  h )が両方とも通常の円形計量を持つn次元単位球面 S ⁿである場合、球面の任意の等長写像はS ⁿのそれ自身への測地線写像である。
• ( M、  g ) が通常の円形距離を持つ単位球面S ⁿであり、 ( N、  h ) が通常の円形距離を持つ半径2の球面である場合、両方とも周囲座標空間R ^{n +1}のサブセットとして考えられ、 φ ( x ) = 2 xによって与えられる「展開」マップφ  :  R ^{n +1}  →  R ^{n +1は、} NへのMの測地線マップを誘導します。
• ユークリッド空間E ⁿから単位球面S ⁿへの測地線写像は存在しません。なぜなら、それらは同相ではなく、微分同相でもないからです。
• 半球面から平面への心射投影は測地線図であり、大円を線に投影し、その逆は線を大円に投影します。
• ( D ,  g )をユークリッド計量を備えた単位円板 D  ⊂  R ²とし、 ( D ,  h ) を双曲幾何学のポアンカレ円板モデルのように双曲計量を備えた同じ円板とします。すると、2つの構造は恒等写像i  :  D  →  Dを介して微分同相になりますが、g測地線はR ²で常に直線であるのに対し、h測地線は曲線になる可能性があるため、 i は測地線写像ではありません。
• 一方、D上の双曲計量がクラインモデルによって与えられる場合、恒等式i  :  D  →  Dは測地線写像 である。これは、クラインモデルにおける双曲測地線が（ユークリッド）直線分であるためである。

• アンバーツミアン、RV (1982)。組合せ積分幾何学。Wiley シリーズ確率と数理統計：確率と統計に関する小冊子。ニューヨーク：John Wiley & Sons Inc. pp. xvii+ 221。ISBN 0-471-27977-3MR  0679133 。
• クライシグ、アーウィン (1991)。微分幾何学。ニューヨーク: Dover Publications Inc. pp. xiv+ 352。ISBN 0-486-66721-9. MR  1118149。

• Weisstein、Eric W.「測地線マッピング」。MathWorld。