ガマスの定理

ガマスの定理は、対称群の既約表現によって対称化されたテンソルがゼロになるための必要十分条件を述べた多重線型代数の結果である。これは1988年にカルロス・ガマスによって証明された。^{[1]追加の証明はペイト[2]}とベルゲット^[3]によって与えられている。 ${\displaystyle S_{n}}$

を有限次元複素ベクトル空間とし、を の分割とする。対称群の表現論から、分割はの既約表現に対応することが知られている。をこの表現の指標とする。によって対称化されたテンソルは次のように定義される。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \chi ^{\lambda }}$${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}\otimes \dots \otimes v_{n}\in V^{\otimes n}}$${\displaystyle \chi ^{\lambda }}$

$${\displaystyle {\frac {\chi ^{\lambda }(e)}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}\chi ^{\lambda }(\sigma )v_{\ sigma (1)}\otimes v_{\sigma (2)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (n)},}$$

ここで、は の単位元です。ガマスの定理によれば、上記の対称化テンソルは、ベクトルの集合を、そのサイズが分割の列の長さと一対一である線型独立な集合に分割できる場合にのみ、ゼロ以外になります。 ${\displaystyle e}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \{v_{i}\}}$${\displaystyle \lambda}$

• 代数的組合せ論
• 内在する
• シューア多項式