ランク-ヌル定理

階数零定理は線型代数学の定理であり、次のことを主張します。

• 行列Mの列数は、 Mの階数とMの零点数の合計である。
• 線形変換fの定義域の次元は、 fの階数（ fの像の次元）とfの零点性（ fの核の次元）の合計である。^{[1] [2] [3] [4]}

したがって、等しい有限次元のベクトル空間の線型変換の場合、単射性または全射性のいずれかが全単射性を意味することになります。

を 2 つのベクトル空間間の線型変換とします。 ここで、の定義域は有限次元です。すると、 は の階数(その像の次元)であり、 はの零点性(その核の次元)です。言い換えると、 この定理は、分割補題によって、次元だけでなく空間の同型性についてのステートメントに洗練することができます。明示的に、 はから への同型性を誘導するので、の任意の基底を拡張する の基底の存在は、分割補題によって、 を意味します。次元をとると、階数零点性定理が成り立ちます。 ${\displaystyle T:V\to W}$${\displaystyle T}$${\displaystyle V}$$${\displaystyle \operatorname {rank} (T)~+~\operatorname {nullity} (T)~=~\dim V,}$$${\textstyle \operatorname {ランク} (T)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \operatorname {nullity} (T)}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle \dim(\operatorname {Im} T)+\dim(\operatorname {Ker} T)=\dim(\operatorname {Domain} (T)).}$$${\displaystyle T}$${\displaystyle V/\オペレータ名 {Ker} (T)}$${\displaystyle \operatorname {Im} (T),}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \operatorname {Ker} (T)}$${\displaystyle \operatorname {Im} (T)\oplus \operatorname {Ker} (T)\cong V.}$

線型写像は行列で表現できる。より正確には、行列Mは線型写像を表す。ここで、は基底体である 。 ^[5]したがって、の領域の次元はn 、 Mの列数はnであり、行列Mの階数零定理は${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle f:F^{n}\to F^{m},}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle m\times n}$$${\displaystyle \operatorname {rank} (M)+\operatorname {nullity} (M)=n.}$$

ここでは2つの証明を示します。最初の証明^[2]は一般的なケースで、線型写像を用いています。2番目の証明^[6]は、が階数を持つ同次系を見て、の零空間に張られる線型独立な解の集合が存在することを明示的に示しています。 ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {0} ,}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle r,}$${\displaystyle nr}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

定理は線型写像の領域が有限次元であることを要求しますが、余領域にはそのような仮定はありません。つまり、定理が適用される行列によって与えられない線型写像が存在するということです。それにもかかわらず、最初の証明は実際には 2 番目の証明よりも一般的ではありません。線型写像の像は有限次元なので、その領域からその像への写像を行列で表し、その行列に対して定理を証明し、像を完全な余領域に含めて合成することができます。

をある体上のベクトル空間とし、の定理の記述で と定義します。 ${\displaystyle V,W}$${\displaystyle F,}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \dim V=n}$

が部分空間であるため、それに対する基底が存在します。 を仮定し、 をそのような基底とします。 ${\displaystyle \operatorname {Ker} T\subset V}$${\displaystyle \dim \operatorname {Ker} T=k}$$${\displaystyle {\mathcal {K}}:=\{v_{1},\ldots ,v_{k}\}\subset \operatorname {Ker} (T)}$$

ここで、シュタイニッツの交換補題により、線形独立なベクトルを用いて拡張し、 の完全な基底を形成することができる。 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle nk}$${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{nk}}$${\displaystyle V}$

が の 基底であるとする 。このことから、 $${\displaystyle {\mathcal {S}}:=\{w_{1},\ldots ,w_{nk}\}\subset V\setminus \operatorname {Ker} (T)}$$$${\displaystyle {\mathcal {B}}:={\mathcal {K}}\cup {\mathcal {S}}=\{v_{1},\ldots ,v_{k},w_{1},\ ldots ,w_{nk}\}\subset V}$$${\displaystyle V}$$${\displaystyle \operatorname {Im} T=\operatorname {Span} T({\mathcal {B}})=\operatorname {Span} \{T(v_{1}),\ldots ,T(v_{k}),T(w_{1}),\ldots ,T(w_{n-k})\}}$$

${\displaystyle =\operatorname {Span} \{T(w_{1}),\ldots ,T(w_{n-k})\}=\operatorname {Span} T({\mathcal {S}}).}$

ここで、 はの基底であると主張します。上記の等式は、が の生成集合であることをすでに述べています。 が基底であると結論付けるには、 が線形独立であることも示す必要があります。 ${\displaystyle T({\mathcal {S}})}$${\displaystyle \operatorname {Im} T}$${\displaystyle T({\mathcal {S}})}$${\displaystyle \operatorname {Im} T}$

が線形独立ではないと仮定し、 ある についてとします。 ${\displaystyle T({\mathcal {S}})}$$${\displaystyle \sum _{j=1}^{n-k}\alpha _{j}T(w_{j})=0_{W}}$$${\displaystyle \alpha _{j}\in F}$

したがって、 の線形性により、 が成り立つことがわかります 。これは、すべてが 0 に等しくない限り、基底であること と矛盾します。これは、が線形独立であること、より具体的には が の基底であることを示しています。 ${\displaystyle T}$$${\displaystyle T\left(\sum _{j=1}^{n-k}\alpha _{j}w_{j}\right)=0_{W}\implies \left(\sum _{j=1}^{n-k}\alpha _{j}w_{j}\right)\in \operatorname {Ker} T=\operatorname {Span} {\mathcal {K}}\subset V.}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \alpha _{j}}$${\displaystyle T({\mathcal {S}})}$${\displaystyle \operatorname {Im} T}$

要約すると、 の基底として があり、 の基底として があります。 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle \operatorname {Ker} T}$${\displaystyle T({\mathcal {S}})}$${\displaystyle \operatorname {Im} T}$

最後に、 $${\displaystyle \operatorname {Rank} (T)+\operatorname {Nullity} (T)=\dim \operatorname {Im} T+\dim \operatorname {Ker} T}$$

${\displaystyle =|T({\mathcal {S}})|+|{\mathcal {K}}|=(n-k)+k=n=\dim V.}$

これで証明は終わりです。

を線形独立な列を持つ行列（すなわち）とします。次のことを示します。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \operatorname {Rank} (\mathbf {A} )=r}$

これを行うには、列が のヌル空間の基底を形成する行列を作成します。 ${\displaystyle n\times (n-r)}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

一般性を失うことなく、の最初の列が線形独立であると仮定します。したがって、 次のように 書くことができます。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbf {A} }$$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{2}\end{pmatrix}},}$$

• ${\displaystyle \mathbf {A} _{1}}$は線形独立な列ベクトルを持つ行列であり、${\displaystyle m\times r}$${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle \mathbf {A} _{2}}$は、各列が の列の線形結合となるような行列です。${\displaystyle m\times (n-r)}$${\displaystyle n-r}$${\displaystyle \mathbf {A} _{1}}$

これは、ある行列（ランク分解を参照）に対して、 ${\displaystyle \mathbf {A} _{2}=\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} }$${\displaystyle r\times (n-r)}$${\displaystyle \mathbf {B} }$$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \end{pmatrix}}.}$$

を単位行列 とする。 したがって、は次のような行列 である。$${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}},}$$${\displaystyle \mathbf {I} _{n-r}}$${\displaystyle (n-r)\times (n-r)}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle n\times (n-r)}$$${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}}=-\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} +\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} =\mathbf {0} _{m\times (n-r)}.}$$

したがって、の各列はの特殊解です。 ${\displaystyle n-r}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Ax} ={0}_{{F}^{m}}}$

さらに、の列はに対してが成り立つため、線形独立です。 したがって、 の列ベクトルはに対して の線形独立な解の集合を構成します。 ${\displaystyle n-r}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Xu} =\mathbf {0} _{{F}^{n}}}$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} _{{F}^{n-r}}}$${\displaystyle \mathbf {u} \in {F}^{n-r}}$$${\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {u} =\mathbf {0} _{{F}^{n}}\implies {\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}}\mathbf {u} =\mathbf {0} _{{F}^{n}}\implies {\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \mathbf {u} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {0} _{{F}^{r}}\\\mathbf {0} _{{F}^{n-r}}\end{pmatrix}}\implies \mathbf {u} =\mathbf {0} _{{F}^{n-r}}.}$$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle n-r}$${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {0} _{\mathbb {F} ^{m}}}$

次に、の任意の解は の列の線形結合でなければならないことを証明します。 ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {0} _{{F}^{m}}}$${\displaystyle \mathbf {X} }$

このため、 $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{pmatrix}\mathbf {u} _{1}\\\mathbf {u} _{2}\end{pmatrix}}\in {F}^{n}}$$

となる任意のベクトルとします。 の列は線形独立なので、となります。 ${\displaystyle \mathbf {Au} =\mathbf {0} _{{F}^{m}}}$${\displaystyle \mathbf {A} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {A} _{1}\mathbf {x} =\mathbf {0} _{{F}^{m}}}$${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} _{{F}^{r}}}$

したがって、 $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\mathbf {A} \mathbf {u} &=&\mathbf {0} _{{F}^{m}}\\\implies {\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {u} _{1}\\\mathbf {u} _{2}\end{pmatrix}}&=&\mathbf {A} _{1}\mathbf {u} _{1}+\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \mathbf {u} _{2}&=&\mathbf {A} _{1}(\mathbf {u} _{1}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{2})&=&\mathbf {0} _{\mathbb {F} ^{m}}\\\implies \mathbf {u} _{1}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{2}&=&\mathbf {0} _{{F}^{r}}\\\implies \mathbf {u} _{1}&=&-\mathbf {B} \mathbf {u} _{2}\end{array}}}$$ $${\displaystyle \implies \mathbf {u} ={\begin{pmatrix}\mathbf {u} _{1}\\\mathbf {u} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}}\mathbf {u} _{2}=\mathbf {X} \mathbf {u} _{2}.}$$

これは、の解である任意のベクトルは、 の列によって与えられる特殊解の線形結合でなければならないことを証明します。 また、 の列が線形独立であることはすでに確認しました。 したがって、 の列はの零空間の基底を構成します。 したがって、の零性はです。は の階数に等しいため、 となります。 これで証明は終了です。 ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {0} }$${\displaystyle n-r}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle n-r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \operatorname {Rank} (\mathbf {A} )+\operatorname {Nullity} (\mathbf {A} )=n}$

がと（したがって行列で表すことができる） 2 つの有限次元部分空間間の線型変換であるとき、階数零定理は、が階数 を持つ場合、 はの零空間の次元であり、これはの核を表すことを主張します。テキストによっては、 に関連付けられた第 3 の基本部分空間がその像と核と並んで考慮されることがあります。の余核は商空間であり 、その次元は です。この次元の公式（ と表記されることもある）は、階数零定理とともに、線型代数の基本定理と呼ばれることがあります。^{[7] [8]}${\displaystyle T:V\to W}$${\displaystyle n=\dim(V)}$${\displaystyle m=\dim(W)}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle T}$${\displaystyle r}$${\displaystyle n-r}$${\displaystyle M}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$ ${\displaystyle W/\operatorname {Im} (T)}$${\displaystyle m-r}$${\displaystyle \dim \operatorname {Im} (T)+\dim \operatorname {Coker} (T)=\dim(W)}$

この定理は、ベクトル空間の場合の代数の第一同型定理を述べたものであり、分割補題に一般化されます。

より現代的な言葉で言えば、この定理は、ベクトル空間の短完全列はそれぞれ分割される、とも表現できる。明示的には、ベクトル空間 の短完全列 が与えられれば、 となり、したがって となる。 ここでは の役割を果たしており、は となる。すなわち、 $${\displaystyle 0\rightarrow U\rightarrow V\mathbin {\overset {T}{\rightarrow }} R\rightarrow 0}$$${\displaystyle U\oplus R\cong V}$$${\displaystyle \dim(U)+\dim(R)=\dim(V).}$$${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {Im} T}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \operatorname {Ker} T}$$${\displaystyle 0\rightarrow \ker T\mathbin {\hookrightarrow } V\mathbin {\overset {T}{\rightarrow }} \operatorname {im} T\rightarrow 0}$$

有限次元の場合、この定式化は一般化できる。 が 有限次元ベクトル空間の正確な列 である場合、 ^{[9]有限次元ベクトル空間の階数零定理は、線型写像の}インデックス によって定式化することもできる。とが有限次元である 線型写像のインデックスは、次のように定義される。$${\displaystyle 0\rightarrow V_{1}\rightarrow V_{2}\rightarrow \cdots V_{r}\rightarrow 0}$$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}(-1)^{i}\dim(V_{i})=0.}$$${\displaystyle T\in \operatorname {Hom} (V,W)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$$${\displaystyle \operatorname {index} T=\dim \operatorname {Ker} (T)-\dim \operatorname {Coker} T.}$$

直感的には、は方程式 の独立した解の数であり、は方程式 を解けるようにするために課される独立した制約の数です。有限次元ベクトル空間の階数零定理は、次の命題と同等です。 ${\displaystyle \dim \operatorname {Ker} T}$${\displaystyle v}$${\displaystyle Tv=0}$${\displaystyle \dim \operatorname {Coker} T}$${\displaystyle w}$${\displaystyle Tv=w}$$${\displaystyle \operatorname {index} T=\dim V-\dim W.}$$

詳細な分析をしなくても、関係する空間から線型写像のインデックスを簡単に読み取ることができることがわかります。この効果は、より深い結果でも発生します。アティヤ・シンガーのインデックス定理は、特定の微分演算子のインデックスは、関係する空間の幾何学から読み取ることができると述べています。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

• アクラー、シェルドン(2015)。線形代数を正しく行う。学部生向け数学テキスト(第 3 版)。シュプリンガー。ISBN 978-3-319-11079-0。
• Banerjee, Sudipto; Roy, ​​Anindya (2014)、「統計のための線形代数と行列分析」、Texts in Statistical Science (第 1 版)、Chapman and Hall/CRC、ISBN 978-1420095388
• Friedberg, Stephen H.; Insel, Arnold J.; Spence, Lawrence E. (2014).線形代数(第 4 版). Pearson Education . ISBN 978-0130084514。
• マイヤー、カール D. (2000)、行列解析と応用線形代数、SIAM、ISBN 978-0-89871-454-8。
• Katznelson, イツハク;カッツネルソン、ヨナタン R. (2008)。線形代数の (簡潔な) 入門。アメリカ数学協会。ISBN 978-0-8218-4419-9。
• Valenza, Robert J. (1993) [1951].線形代数: 抽象数学入門.学部生向け数学テキスト(第3版). Springer . ISBN 3-540-94099-5。

• ギルバート・ストラング、MIT 線形代数講義「4 つの基本部分空間」、MIT OpenCourseWareより