フロベニウスの定理（群論）

数学、特に群論において、フロベニウスの定理は、${\displaystyle n}$有限群の位数を分割する${\displaystyle G}$すると、${\displaystyle x^{n}=1}$で${\displaystyle G}$の倍数です${\displaystyle n}$フロベニウス（1903 ）によって導入された。 

フロベニウスの定理のより一般的なバージョンは、もし${\displaystyle C}$は共役類であり、${\displaystyle h}$有限群の要素${\displaystyle G}$と${\displaystyle g}$要素と${\displaystyle n}$が正の整数である場合、要素の数は${\displaystyle k}$そのため${\displaystyle k^{n}}$は${\displaystyle C}$最大公約数の倍数である${\displaystyle (hn,g)}$（ホール 1959 、定理 9.1.1）。

フロベニウスの定理の応用例の一つは、アルティン・ハッセ指数関数の係数が次のようになることを示すことである。${\displaystyle p}$-積分、次数 a の要素の数で解釈することによって${\displaystyle p}$対称群において${\displaystyle S_{n}}$。

フロベニウスは、さらに、${\displaystyle x^{n}=1}$まさに${\displaystyle n}$、 どこ${\displaystyle n}$順序を分割します${\displaystyle G}$すると、これらの解は正規部分群を形成する。これは、有限単純群の分類の結果として飯依と山木^{[ 1 ]}によって証明された。

対称群${\displaystyle S_{3}}$正確に${\displaystyle 4}$解決策${\displaystyle x^{4}=1}$しかしこれらは正規部分群を形成しない。これは予想に対する反例ではない。${\displaystyle 4}$割り切れない${\displaystyle |S_{3}|=6}$。

• フロベニウス、G. (1903)、「Über einen Fundamentalsatz der Gruppentheorie」、Berl。ベル。 (ドイツ語): 987– 991、doi : 10.3931/e-rara-18876、JFM 34.0153.01 
• ホール、マーシャル（1959）、『群論』、マクミラン、LCCN 59005035、MR 0103215  
• 飯頼信夫、山木博義（1991年10月）「フロベニウスの予想について」（PDF） ,アメリカ数学会報, 25（2）: 413–416 , doi : 10.1090/S0273-0979-1991-16084-2