4値論理

論理学において、四値論理とは、4 つの真理値を持つ論理のことです。四値論理にはいくつかの種類があります。

ヌエル・ベルナップは1975年にコンピュータによる質問応答の課題を検討した。人間の誤りやすさに注目し、彼は2つの矛盾する事実がメモリにロードされ、その後クエリが行われたケースを懸念した。「我々は皆、2値論理における矛盾の多さを知っている。矛盾は決して孤立せず、システム全体に影響を及ぼす。」^[1]ベルナップは矛盾を封じ込める手段として4値論理を提案した。^{[2] [3]}

彼は値の表をA4と呼びました。その可能な値は、true、false、both (真と偽)、およびnone (真でも偽でもない) です。ベルナップの論理は、複数の情報源に対処するように設計されており、true のみが見つかった場合はtrueが割り当てられ、false のみが見つかった場合はfalseが割り当てられ、一部の情報源が true と言い、他の情報源が false と言う場合はbothが割り当てられ、どの情報源からも情報が提供されない場合は、どちらも割り当てられません。これらの 4 つの値は、{ T, F }に基づくべき乗セットの要素に対応します。

T は、None と Both が控えている論理格子の上限で、F は下限です。ベルナップは次のように解釈しています。「最悪なのは、単純に何かが偽であると告げられることです。何も告げられないか、真であると同時に偽であると告げられる方が、あなたにとっては良いことです (それがあなたの希望の 1 つです)。もちろん、最も良いのは、真であると告げられることです。」ベルナップは、彼の 4 値システムでは「含意のパラドックス」(A&~A)→B および A→(B∨~B) が回避されると指摘しています。

ベルナップは、論理接続子をA4に拡張するという課題に取り組みました。これは { T, F } 上のべき集合であるため、 A4の要素は包含関係で順序付けられ、上限にB oth、下限にN one、翼にTとF がある格子になります。彼は、ダナ・スコットを参照して、接続子がスコット連続関数または単調関数であると想定しています。まず、 ¬Both = Both および ¬None = None と推論することで否定を展開します。AndおよびOrを展開しても、単調性はそこまでしか進みません。ベルナップは、同値 (a& b = a iff avb = b) を使用してこれらの接続子の表を埋めます。彼は、None & Both = F であるのに対し、None v Both = T であることを発見しました。

結果は「論理格子」と呼ばれる2 番目の格子L4です。ここで、 A4 はスコット連続性を決定する「近似格子」です。

各真理値に1ビットを割り当てると、01=T、10=F、00=N、11=Bとなる。 ^[4]

すると、 {T, F} 上のべき集合における部分集合関係は、2 ビット表現で a<c かつ b<d の場合に限り、ab<cd の順序に対応します。ベルナップは、この順序に関連付けられた格子を「近似格子」と呼んでいます。

2ビット変数に関連するロジックは、コンピュータハードウェアに組み込むことができます。^[5]

離散システムとして、4 値ロジックは、論理マトリックスによる遷移の対象となる一連の状態を示し、遷移システムを形成します。2 ビットの入力は、マトリックスの乗算によって 2 ビットの出力に遷移します。

2x2 の論理行列が 16 個あり、行列遷移の入力と出力として機能する論理ベクトルが 4 つあります。

X = {A, B, C, D } = {(0,1), (1, 0), (0, 0), (1, 1) }.

C が入力されると、出力は常に C になります。16 個のうち 4 個は 1 つのコーナーにのみゼロがあるため、ブール演算によるベクトルと行列の乗算の出力は、C 入力を除いて常に D になります。

ラベル付き遷移システムを埋めるために、さらに 9 つの論理行列の記述が必要です。このシステムでは、行列が遷移にラベルを付けます。C を除いて、入力 A、B、D が順番に考慮され、X の出力は 3 つの要素として表現されます。たとえば、 一般に単位行列として知られる の場合は ABD です。 ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},}$

非対称行列は、行ベクトルと列ベクトルに対する動作が異なります。ここでは行規則が使用されます。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}}$コード BBB、 コード AAA${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}}$コード CDB、 コード DCA があります。${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}}}$

X の残りの演算は 3 つのゼロを持つ行列で表現されるため、出力には入力の 3 分の 1 に対して C が含まれます。この場合のコードは CAA、BCA、ACA、CBB です。

IEEEはIEEE 1364標準で4 値ロジックを確立しました。これはデジタル回路の信号値をモデル化します。4 つの値は1、0、Z、Xです。 1 と 0 はブール値のtrue と falseを表し、 Z は高インピーダンスまたはオープン サーキットを表し、 X はdon't care (つまり、値は効果がない)を表します。このロジック自体はIEEE 1164と呼ばれる 9 値ロジック標準のサブセットであり、超高速集積回路ハードウェア記述言語 ( VHDL ) のstd_logicで実装されています。

4 値の数学的ロジック (演算子、真理値表、三段論法、命題計算、定理などを使用) を、バイナリ ロジックを使用して構築され、ブール型の値で実装された 4 つの可能な状態で応答を表示する通信プロトコルと混同しないでください。たとえば、大型道路車両のCANデータ送信に使用されるSAE J1939標準には、 False、True、Error Condition、およびNot Installed (値 0～3 で表される) の 4 つの論理 (ブール) 値があります。Error Condition は、データ取得を妨げる技術的な問題があることを意味します。そのロジックは、たとえばTrueおよびError Condition = Error Conditionです。Not Installed は、この車両に存在しない機能に対して使用され、論理計算では無視する必要があります。CAN では、通常、固定データ メッセージが多くの信号値を含んで送信されるため、インストールされていない機能を表す信号はいずれにせよ送信されます。

論理ゲート用のカーボンナノチューブの作成には、カーボンナノチューブ電界効果トランジスタ(CNFET)が使用されています。モノのインターネット(IoT)におけるデータストレージの需要が見込まれることが、その動機となっています。分割ビットゲートを使用した32 nm プロセスアプリケーションが提案されています。「提案された SQI ゲートによって 32 nm ノードで CNFET 技術を使用することで、IoT/IoVT アプリケーションにおけるストレージ容量の需要増加の問題に対処するために、2 つの分割ビットライン QSRAM アーキテクチャが提案されています。QSRAM 用の新しい 4 進数から 2 進数へのデコーダなどの周辺回路が提供されています。」^[6]

• 古代ギリシャとインドの論理学におけるテトラレンマ
• 仏教論理におけるチャトゥコティ
• 二神論、ある発言は真でも偽でもあるという考え

• Arieli, Ofer; Avron, Arnon (2017 年 12 月). 「4 値パラデフティック論理」. Studia Logica . 105 (6) (2017 年 4 月 10 日発行): 1087–1122. doi :10.1007/s11225-017-9721-4. S2CID  207243272.
• Bimbó, Katalin ; Dunn, J. Michael (2001 年夏)。  「4 値論理」。Notre Dame Journal of Formal Logic。42 ( 3): 171–192。doi : 10.1305/ ndjfl /1063372199。MR 2010180。Zbl 1034.03021 – Project Euclid 経由。
• Ferreira, J. Ulisses (2017 年 9 月 30 日 – 10 月 1 日)。4 値ロジック(PDF)。第 9 回国際ネットワーク & 通信会議 (NeCoM 2017)。コンピュータ サイエンス & 情報技術。第7 巻、第 4 号。ドバイ。pp. 71–84。doi : 10.5121 / csit.2017.71206。ISBN 978-1-921987-72-4。