コルモゴロフ方程式

確率論では、コルモゴロフ方程式（コルモゴロフ前進方程式とコルモゴロフ後退方程式を含む）は、連続時間マルコフ過程を特徴付けます。特に、連続時間マルコフ過程が特定の状態にある確率が時間の経過とともにどのように変化するかを記述します。

1931 年に執筆したアンドレイ・コルモゴロフは、チャップマン・コルモゴロフ方程式で記述される離散時間マルコフ過程の理論から出発し、この方程式を拡張して連続時間マルコフ過程の理論を導出しようとしました。彼は、短い時間間隔での想定される動作に応じて、連続時間マルコフ過程には 2 種類あることを発見しました。

「短い時間間隔では状態が変化しない可能性が非常に高いが、変化する場合はその変化は急激になる可能性がある」^{[1]と仮定すると、}ジャンププロセスと呼ばれるものにつながります。

もう一つのケースは、「拡散やブラウン運動によって表されるようなプロセスにつながります。そこでは、どんなに小さな時間間隔でも何らかの変化が起こることは確かです。ただし、ここでは、小さな時間間隔での変化も小さいことが確実です」^{[1] 。}

これら 2 種類のプロセスのそれぞれについて、コルモゴロフは順方向方程式と逆方向方程式のシステム (全部で 4 つ) を導き出しました。

これらの方程式は、1931年の基礎研究で強調されたため、アンドレイ・コルモゴロフにちなんで命名されました。 ^[2]

ウィリアム・フェラーは1949年に、ジャンプ過程と拡散過程の両方において、コルモゴロフ対のより一般的なバージョンに「順方向方程式」と「逆方向方程式」という名前を使用しました。^[1]ずっと後の1956年に、彼はジャンプ過程の方程式を「コルモゴロフ順方向方程式」と「コルモゴロフ逆方向方程式」と呼びました。^[3]

木村資生[ ^4]などの他の著者は拡散（フォッカー・プランク）方程式をコルモゴロフ順方向方程式と呼び、この名前は現在も残っています。

• ジャンプを伴う連続時間マルコフ過程の文脈では、コルモゴロフ方程式（マルコフジャンプ過程）を参照してください。特に、自然科学では、順方向方程式はマスター方程式とも呼ばれます。
• 拡散過程の文脈では、逆コルモゴロフ方程式については、コルモゴロフ逆方程式 (拡散) を参照してください。順コルモゴロフ方程式は、フォッカー・プランク方程式とも呼ばれます。

コルモゴロフによる方程式の元々の導出は、有限の離散状態空間上の時間連続かつ微分可能なマルコフ過程に対するチャップマン・コルモゴロフ方程式（コルモゴロフはこれを基本方程式と呼んだ）から始まる。 ^[2]この定式化では、確率はの連続かつ微分可能な関数である と仮定されている。ここで、（状態空間）およびは、それぞれ最終時間と初期時間である。また、導関数の適切な極限特性が仮定されている。フェラーは、純粋に不連続なマルコフ過程の概念から始めて、より一般的な状態空間に対して方程式を定式化するという、わずかに異なる条件下で方程式を導出している。^{[5]フェラーは、自然条件下での}コルモゴロフ前進方程式とコルモゴロフ後退方程式に対する確率的性質の解の存在を証明している。^[5]${\displaystyle P(x,s;y,t)}$${\displaystyle t>s}$${\displaystyle x,y\in \Omega }$${\displaystyle t>s,t,s\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$

可算状態空間の場合、の代わりに を置きます。コルモゴロフの順方向方程式は 、${\displaystyle i,j}$${\displaystyle x,y}$

${\displaystyle {\frac {\partial P_{ij}}{\partial t}}(s;t)=\sum _{k}P_{ik}(s;t)A_{kj}(t)}$、

ここで、遷移率行列（生成行列とも呼ばれる） である。${\displaystyle A(t)}$

一方、コルモゴロフの逆方程式は

${\displaystyle {\frac {\partial P_{ij}}{\partial s}}(s;t)=-\sum _{k}P_{kj}(s;t)A_{ik}(s)}$

関数は連続的であり、両方の時間引数で微分可能である。これらは、時刻 の状態であったシステムが、後の時刻 の状態 にジャンプする確率を表す。連続量は次式を満たす。 ${\displaystyle P_{ij}(s;t)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle s}$${\displaystyle j}$${\displaystyle t>s}$${\displaystyle A_{ij}(t)}$

${\displaystyle A_{ij}(t)=\left[{\frac {\partial P_{ij}}{\partial u}}(t;u)\right]_{u=t},\quad A_{jk}(t)\geq 0,\ j\neq k,\quad \sum _{k}A_{jk}(t)=0.}$

離散状態の場合、 とし、システムが最初に状態 にあると仮定すると 、コルモゴロフ順方向方程式は、量が与えられた場合にプロセスの確率を求める初期値問題を記述します。 と書くと、 ${\displaystyle s=0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle A_{jk}(t)}$${\displaystyle p_{k}(t)=P_{ik}(0;t)}$${\displaystyle \sum _{k}p_{k}(t)=1}$

${\displaystyle {\frac {dp_{k}}{dt}}(t)=\sum _{j}A_{jk}(t)p_{j}(t);\quad p_{k}(0)=\delta _{ik},\qquad k=0,1,\dots .}$

一定速度の純粋な死亡過程の場合、ゼロでない係数は のみです。 ${\displaystyle A_{j,j-1}=\mu _{j},\ j\geq 1}$

${\displaystyle \Psi (x,t)=\sum _{k}x^{k}p_{k}(t),\quad }$

この場合、方程式系は初期条件 を持つに対する偏微分方程式として書き直すことができる。いくつかの操作を行った後、方程式系は次のようになる。^[6]${\displaystyle {\Psi }(x,t)}$${\displaystyle \Psi (x,0)=x^{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}(x,t)=\mu (1-x){\frac {\partial {\Psi }}{\partial x}}(x,t);\qquad \Psi (x,0)=x^{i},\quad \Psi (1,t)=1.}$

生物学からの例を一つ挙げると次の通りです。^[7]

${\displaystyle p_{n}'(t)=(n-1)\beta p_{n-1}(t)-n\beta p_{n}(t)}$

この式は出生による人口増加をモデル化するのに適用されます。 は初期人口を基準とした人口指数、は出生率、そして最後に、つまり特定の人口規模を達成する確率です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle p_{n}(t)=\Pr(N(t)=n)}$

解析解は次の通りである: ^[7]

${\displaystyle p_{n}(t)=(n-1)\beta e^{-n\beta t}\int _{0}^{t}\!p_{n-1}(s)\,e^{n\beta s}\mathrm {d} s}$

これは、前の式に関する確率の式です。 ${\displaystyle p_{n}(t)}$${\displaystyle p_{n-1}(t)}$

• ファインマン-カック式
• フォッカー・プランク方程式
• コルモゴロフ逆方程式