極集合（ポテンシャル理論）

数学において、古典的なポテンシャル理論の分野では、極集合は「無視できる集合」であり、測度論において測度ゼロの集合が無視できる集合であるのと同様である。

（ただし）の集合は、非定数分数調和関数が存在する場合、極集合となる。${\displaystyle Z}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n\geq 2}$

${\displaystyle u}$の上${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

そのような

${\displaystyle Z\subseteq \{x\in \mathbb {R} ^{n}:u(x)=-\infty \}.}$

極性セットを定義する他の (同等の) 方法があることに注意してください。たとえば、「サブハーモニック」を「スーパーハーモニック」に置き換えたり、上記の定義で を に置き換えたりすることができます。${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$

極性セットの最も重要な特性は次のとおりです。

• シングルトンセットは極性です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• の可算集合は極性です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• 極性集合の可算な集合の和集合は極性である。
• 極集合はルベーグ測度がゼロである。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

ある性質が集合S内のほぼすべての場所で成り立つとは、 Eがボレル極集合であるS − E上で成り立つことを意味する。Pがほぼすべての場所で成り立つということは、ほぼすべての場所で成り立つことを意味する。^[1]

• 多極セット

• ドゥーブ、ジョセフ L. (1984)。古典的なポテンシャル理論とその確率論的対応物。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften。 Vol. 262. ベルリン ハイデルベルク ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 3-540-41206-9.ZBL0549.31001  。​
• ヘルムズ、LL（1975）。ポテンシャル理論入門。REクリーガー。ISBN 0-88275-224-3。
• ランズフォード、トーマス（1995）。複素平面におけるポテンシャル理論。ロンドン数学会学生テキスト。第28巻。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-46654-7.ZBL0828.31001  。​

• 「極座標」。PlanetMath。