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電磁場ソルバー(または単に場ソルバーと呼ばれることもあります) は、マクスウェル方程式(のサブセット) を直接解く特殊なプログラムです。これらは電子設計自動化(EDA)の分野の一部を形成し、集積回路やプリント回路基板の設計でよく使用されます。これらは、第一原理からのソリューションや最高の精度が必要な場合に使用されます。
導入
寄生回路モデルの抽出は、タイミング、シグナル インテグリティ、基板結合、電力グリッド解析など、物理検証のさまざまな側面で不可欠です。回路の速度と密度が増加するにつれて、より広範囲で複雑な相互接続構造の寄生効果を正確に考慮する必要性が高まっています。さらに、抵抗や容量からインダクタンス、さらには完全な電磁波伝播まで、電磁気の複雑さも増大しています。この複雑さの増加は、集積インダクタなどの受動デバイスの解析でも増大しています。電磁気的動作はマクスウェル方程式によって支配されており、すべての寄生抽出では、何らかの形式のマクスウェル方程式を解く必要があります。その形式は、単純な解析的平行板容量方程式の場合もあれば、波伝播を伴う複雑な 3Dジオメトリの完全な数値解を含む場合もあります。レイアウト抽出では、精度よりも速度が重要であれば、単純または簡略化されたジオメトリの解析式を使用できます。それでも、幾何学的構成が単純ではなく、精度の要求により単純化が許されない場合は、適切な形式のマクスウェル方程式の数値解法を採用する必要があります。
マクスウェル方程式の適切な形式は、通常、2 つのクラスの方法のいずれかによって解かれます。最初のクラスでは、支配方程式の微分形式を使用し、電磁場が存在する領域全体の離散化 (メッシュ化) が必要です。この最初のクラスで最も一般的な 2 つのアプローチは、有限差分(FD) 法と有限要素(FEM) 法です。解く必要がある結果として得られる線形代数システム (行列) は、大規模ですがスパースです(非ゼロのエントリがほとんどありません)。スパース因数分解、共役勾配、マルチグリッド法などのスパース線形解法を使用してこれらのシステムを解くことができます。これらの方法のうち最も優れた方法は、CPU 時間とメモリを O(N) 時間必要とします (N は離散化の要素数)。ただし、電子設計自動化(EDA) の問題のほとんどは、外部問題とも呼ばれる未解決問題であり、フィールドは無限大に向かってゆっくりと減少するため、これらの方法では非常に大きな N が必要になる場合があります。
2 番目のクラスの方法は、積分方程式法であり、代わりに電磁場ソースのみの離散化を必要とします。これらのソースは、静電容量問題の表面電荷密度などの物理量、またはグリーンの定理を適用した結果の数学的な抽象化です。ソースが 3 次元問題で 2 次元表面にのみ存在する場合、この方法はモーメント法(MoM) または境界要素法(BEM) と呼ばれることがよくあります。未解決の問題の場合、フィールドのソースはフィールド自体よりもはるかに小さい領域に存在するため、積分方程式法によって生成される線形システムのサイズは、FD または FEM よりもはるかに小さくなります。ただし、積分方程式法は密な (すべてのエントリがゼロでない) 線形システムを生成するため、このような方法は小さな問題に対してのみ FD または FEM よりも適しています。このようなシステムでは、保存にO(n 2 ) のメモリが必要で、直接ガウス消去法で解くにはO(n 3 )、または反復的に解く場合はせいぜいO(n 2 )が必要です。回路の速度と密度が増加すると、ますます複雑な相互接続を解決する必要があり、問題のサイズが大きくなるにつれて計算コストが急激に増加するため、密な積分方程式アプローチは適さなくなります。
過去 20 年間で、微分方程式と積分方程式の両方のアプローチの改良、およびランダム ウォーク法に基づく新しいアプローチに多くの作業が行われました。[1] [2] FD および FEM アプローチに必要な離散化を切り捨てる方法により、必要な要素の数が大幅に削減されました。[3] [4]積分方程式アプローチは、スパース化技術 (マトリックス圧縮、加速、またはマトリックスフリー技術とも呼ばれる) により、相互接続抽出で特に人気が高まっており、積分方程式法のストレージと解析時間がほぼO(n)増加しました。[5] [6] [7] [8] [9] [10] [11]
スパース化積分方程式の手法は、通常、IC 業界で静電容量とインダクタンスの抽出問題を解決するために使用されます。ランダム ウォーク法は、静電容量の抽出に非常によく使用されています。完全なマクスウェル方程式(全波) の解を必要とする問題では、微分方程式と積分方程式の両方のアプローチが一般的です。
参照
参考文献
- ^ YL Le CozとRB Iverson。集積回路における高速容量抽出のための確率的アルゴリズム。ソリッドステートエレクトロニクス、35(7):1005-1012、1992年。
- ^ Yu, Wenjian; Zhuang, Hao; Zhang, Chao; Hu, Gang; Liu, Zhi (2013). 「RWCap: 超大規模集積回路相互接続の 3D 容量抽出のための浮動ランダムウォーク ソルバー」. IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems . 32 (3): 353–366. CiteSeerX 10.1.1.719.3986 . doi :10.1109/TCAD.2012.2224346. S2CID 16351864.
- ^ OM Ramahi; B. Archambeault (1995). 「EMCシミュレーションのための有限差分時間領域アプリケーションにおける適応吸収境界条件」IEEE Trans. Electromagn. Compat. 37 (4): 580–583. doi :10.1109/15.477343.
- ^ JC Veihl; R. Mittra (1996 年 2 月)。「有限差分時間領域メッシュ切り捨てのための Berenger の完全整合層 (PML) の効率的な実装」IEEE Microwave and Guided Wave Letters 6 ( 2): 94. doi :10.1109/75.482000。
- ^ L. Greengard. 粒子システムにおけるポテンシャル場の迅速な評価。MIT Press、マサチューセッツ州ケンブリッジ、1988年。
- ^ V. Rokhlin. 古典ポテンシャル理論の積分方程式の高速解法。計算物理学ジャーナル、60(2):187-207、1985年9月15日。
- ^ K. Nabors; J. White (1991 年 11 月). 「Fastcap: 多極加速 3D 容量抽出プログラム」. IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems . 10 (11): 1447–1459. CiteSeerX 10.1.1.19.9745 . doi :10.1109/43.97624.
- ^ A. Brandt. 振動カーネルによる積分変換と粒子相互作用のマルチレベル計算。Computer Physics Communications、65:24-38、1991。
- ^ JR Phillips、JK White (1997 年 10 月) 。「複雑な 3 次元構造の静電解析のための事前補正 FFT 法」。IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems。16 ( 10): 1059–1072。CiteSeerX 10.1.1.20.791。doi : 10.1109 /43.662670。
- ^ S. Kapur; DE Long (1998年10月～12月)。「IES 3 : 効率的な静電・電磁シミュレーション」IEEE Computational Science and Engineering 5 ( 4): 60–67. doi :10.1109/99.735896。
- ^ JM Song; CC Lu; WC Chew; SW Lee (1998 年 6 月). 「Fast Illinois Solver Code (FISC)」. IEEE Antennas and Propagation Magazine . 40 (3): 27–34. Bibcode :1998IAPM...40...27S. CiteSeerX 10.1.1.7.8263 . doi :10.1109/74.706067.