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数学において、体算術は、体の算術的性質とその絶対ガロア群の相互関係を研究する科目です。代数的整数論、数論幾何学、代数幾何学、モデル理論、有限群および副有限群の理論のツールを使用するため、学際的な科目です。
有限絶対ガロア群を持つ体
Kを体とし、G = Gal( K )をその絶対ガロア群とする。Kが代数的に閉じているなら、G = 1である。K = Rが実数なら、
ここで、Cは複素数体、Z は整数環です。Artinと Schreier の定理は、(本質的に) これらは有限絶対ガロア群のすべての可能性であると主張しています。
アルティン・シュライアーの定理。絶対ガロア群Gが有限である体Kとします。このとき、Kは可分閉体でありGは自明であるか、K は実閉体でありG = Z /2 Zです。
絶対ガロア群によって定義される体
いくつかの有限群は非同型体の絶対ガロア群として現れる。その最初の例は
この群は任意の有限体の絶対ガロア群と同型である。また、複素数上の 形式ローラン級数体 C (( t ))の絶対ガロア群もその群と同型である。
別の例として、絶対ガロア群が自由（つまり自由部分有限群）である 2 つの非同型体を以下に示します。
- C を代数的に閉じた体、x を変数とします。すると Gal( C ( x )) はCの濃度に等しい階数を持ちます。(この結果は、0 特性の体についてはAdrien Douadyによるもので、リーマンの存在定理に由来しています。任意の特性の体については、David HarbaterとFlorian Popによるもので、後に Dan Haran とMoshe Jardenによっても証明されました。)
- 絶対ガロア群 Gal( Q ) ( Qは有理数) はコンパクトであり、したがって正規化されたハール測度を備えています。ガロア自己同型s (Gal( Q )の元) に対して、 N s をs が固定するQの最大ガロア拡大とします。すると、確率 1 で絶対ガロア群 Gal( N s ) は可算ランクを持ちません。(この結果はMoshe Jardenによるものです。)
上記の例とは対照的に、問題の体がQ上で有限生成である場合、フロリアン・ポップは絶対ガロア群の同型が体の同型を生み出すことを証明しています。
定理。K、LをQ上の有限生成体とし、a:Gal(K)→Gal(L)を同型とする。すると、代数閉包の唯一の同型b : Kalg → Lalgが存在し、 aを誘導する 。
これは、 Jürgen Neukirchと Koji Uchidaによる数体に関する以前の研究を一般化したものです。
擬似代数閉体
擬似代数閉体(略して PAC) Kは、次の幾何学的性質を満たす体です。K上で定義された各絶対既約代数多様体V には、K有理点が存在します。
PAC 体上では、体の算術的性質とその絶対ガロア群の群論的性質の間には強固なつながりがあります。この精神における優れた定理は、ヒルベルト体と ω フリー体を結び付けます ( Kの埋め込み問題が適切に解ける場合、 Kは ω フリーです)。
定理。KをPAC 体とします。Kがω フリーである 場合に限り、Kはヒルベルト体です。
ピーター・ロケットは、この定理が右から左へ向かう方向であることを証明し、その逆方向であると推測した。マイケル・フリードとヘルムート・フォルクラインは、代数的位相幾何学と複素解析を応用して、標数ゼロにおけるロケットの予想を立証した。後にポップは、「リジッド・パッチング」を開発して、任意の標数に対する定理を証明した。
参考文献
- フリード、マイケル D.ジャーデン、モーシェ (2004)。フィールド演算。 Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 3.フォルゲ。 Vol. 11（増補改訂第2版）。スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 3-540-22811-X. Zbl 1055.12003.
- Neukirch, ユルゲン;シュミット、アレクサンダー。 Wingberg, Kay (2000)、数体のコホモロジー、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 323、ベルリン: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-66671-4、MR 1737196、Zbl 0948.11001