埋め込み問題

数学の一分野であるガロア理論において、埋め込み問題は逆ガロア問題の一般化である。大まかに言えば、与えられたガロア拡大が、対応するガロア群間の制限写像が与えられるような方法でガロア拡大に埋め込むことができるかどうかを問う問題である。

体 Kと有限群 Hが与えられたとき、次のような疑問が生じます (いわゆる逆ガロア問題)。ガロア群がHと同型である ガロア拡大F/K は存在するでしょうか。埋め込み問題はこの問題の一般化です。

L/K をガロア群Gを持つガロア拡大とし、f​​ : H → G を同型写像とします。 ガロア 群 H を持つガロア拡大 F/K があり、Kを固定した埋め込みα  :  L  →  Fがあり、その下でF/Kのガロア群からL/Kのガロア群への制限写像がfと一致するでしょ うか?

同様に、原有限群 Fの埋め込み問題は、2 つの原有限群HとG、および 2 つの連続エピモフィズムφ  :  F  →  Gと f  :  H  →  Gというデータから構成されます。群Hが有限である場合、埋め込み問題は有限であると言われます。このような埋め込み問題の解(弱解と呼ばれることもあります) は、φ = f γとなる連続準同型γ  : F → Hです。解が全射である場合、それは真解と呼ばれます。  

有限埋め込み問題は、profinite グループを特徴づけます。次の定理はこの原理を例示します。

定理。Fを可算（位相的に）生成する有限群 とする。すると

1. Fが射影的であるためには、 Fの任意の有限埋め込み問題が解ける必要があります。
2. F が可算ランクを持たないのは、Fの任意の有限埋め込み問題が適切に解ける場合のみです。

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• ガロア理論における埋め込み問題。数学モノグラフの翻訳。第165巻。1997年。doi :10.1090/mmono/ 165。ISBN 9780821845929。
• フリード、マイケル D.ジャーデン、モーシェ (2008)。フィールド演算。 Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ / 数学における現代の調査シリーズ。 Vol. 11.土井：10.1007/978-3-540-77270-5。ISBN 978-3-540-77269-9。
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