代数曲線のゴナリティ

数学において、代数曲線Cのゴナリティは、 Cから射影直線への非定数有理写像の最小次数として定義される。より代数的な用語で言えば、 C が体K上で定義され、K ( C )がCの関数体を表す場合、ゴナリティは体拡張の次数が取る最小値となる。

K ( C )/ K ( f )

単一関数fによって生成される部分体上の関数体の。

Kが代数的に閉じている場合、種数0の曲線に対しては正確に 1 のゴナリティが存在します。種数 1 の曲線 (楕円曲線) および超楕円曲線(種数 2 のすべての曲線を含む) に対しては、ゴナリティは 2 です。種数g ≥ 3 の場合、種数がゴナリティを決定することはもはやありません。種数gの曲線のゴナリティは、床関数以下です。

( g + 3)/2。

三角曲線とは、三角度が3の曲線であり、このことが一般的にその名称の由来となっている。三角曲線には、種数3のピカール曲線が含まれ、これは次の式で表される。

y ³ = Q ( x )

ここで、Qは4次である。

M. GreenとR. Lazarsfeldによるゴナリティ予想は、代数曲線Cのゴナリティが、高次の可逆層の最小分解からホモロジー代数を用いて計算できると予測している。多くの場合、ゴナリティはクリフォード指数より2つ大きい。Green -Lazarsfeld予想は、種数に対してdが大きいr次元への次数d埋め込みに対する次数付きベッチ数を用いた正確な公式である。Cの与えられた埋め込みと、その同次座標環の最小自由分解に関して、 β _{i , i + 1}がゼロとなる最小指数iについてb ( C )と書くと、ゴナリティの予想公式は次のようになる。

r + 1 − b ( C ) 。

フェデリコ・アモデオが1900年に国際数学者会議（ICM）で行った講演によると、この概念（ただし用語ではない）はリーマンのアーベル関数論の第5節に由来する。 アモデオは1893年には既に「gonalità」という用語を使用していた。

• アイゼンバッド、デイビッド（2005）。『合体の幾何学：可換代数と代数幾何学の第2コース』。大学院数学テキストシリーズ。第 229巻。ニューヨーク州ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。171、178頁。ISBN  0-387-22215-4。MR 2103875。Zbl 1066.14001。  

• 種数5の三角曲線への幾何学的入門

• GitHub 上に、特殊な三角曲線の例を構築するためのコードがあります。Macaulay2で記述されています。