一般化線形配列モデル

統計学において、一般化線形配列モデル（GLAM）は、配列構造を持つデータセットの分析に用いられます。これは、設計行列をクロネッカー積として表した一般化線形モデルに基づいています。

一般化線形配列モデル（GLAM）は2006年に導入されました。^{[ 1 ]} このようなモデルは、モデル行列をクロネッカー積として記述でき、データを配列として記述できる一般化線形モデル（GLM）を適合するための構造と計算手順を提供します。大規模なGLMでは、GLAMアプローチは、通常のGLMアルゴリズムと比較して、ストレージと計算時間の両方で大幅な節約を実現します。

データが${\displaystyle \mathbf {Y} }$は${\displaystyle d}$サイズが の次元配列${\displaystyle n_{1}\times n_{2}\times \dots \times n_{d}}$;したがって、対応するデータベクトル${\displaystyle \mathbf {y} =\演算子名 {vec} (\mathbf {Y} )}$サイズがあります${\displaystyle n_{1}n_{2}n_{3}\cdots n_{d}}$また、設計行列が次の形式であると仮定します。

${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {X} _{d}\otimes \mathbf {X} _{d-1}\otimes \dots \otimes \mathbf {X} _{1}.}$

データベクトルを用いたGLMの標準的な分析${\displaystyle \mathbf {y} }$および設計マトリックス${\displaystyle \mathbf {X} }$スコアリングアルゴリズムを繰り返し評価することによって進行する

${\displaystyle \mathbf {X} '{\tilde {\mathbf {W} }}_{\delta }\mathbf {X} {\hat {\boldsymbol {\theta }}}=\mathbf {X} '{\tilde {\mathbf {W} }}_{\delta }{\tilde {\boldsymbol {\theta }}},}$

どこ${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\theta }}}}$の近似解を表す${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$、 そして${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$それは、その価値の向上を意味します。${\displaystyle \mathbf {W} _{\delta }}$は要素を持つ対角重み行列です

${\displaystyle w_{ii}^{-1}=\left({\frac {\partial \eta _{i}}{\partial \mu _{i}}}\right)^{2}\mathrm {var} (y_{i}),}$

そして

${\displaystyle \mathbf {z} ={\boldsymbol {\eta }}+\mathbf {W} _{\delta }^{-1}(\mathbf {y} -{\boldsymbol {\mu }})}$

は作業変数です。

計算上、GLAMは線形予測子を計算するための配列アルゴリズムを提供します。

${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}=\mathbf {X} {\boldsymbol {\theta }}}$

加重内積

${\displaystyle \mathbf {X} '{\チルダ {\mathbf {W} }}_{\delta }\mathbf {X} }$

モデル行列の評価なし${\displaystyle \mathbf {X} .}$

GLAMは、${\displaystyle d}$データが配列に配置され、平滑化行列がクロネッカー積として構築される次元平滑化問題${\displaystyle d}$1次元平滑化行列。