微分イデアル

微分形式の理論において、微分イデアル Iは、滑らかな多様体上の滑らかな微分形式の環における代数イデアル、言い換えれば、環論の意味での次数付きイデアルであり、さらに外微分dに関して閉じており、つまり、 Iの任意の形式 α に対して、外微分d α もIに含まれることを意味します。

微分代数の理論において、微分環Rの微分イデアル Iは、各微分作用素によってそれ自身に写像されるイデアルである。

外部差動システムは、滑らかな多様体と差動理想 から構成される。${\displaystyle M}$

${\displaystyle I\subset \Omega ^{*}(M)}$。

外微分系の積分多様体は、に含まれるすべての微分形式のへの引き戻しが同一に消滅するという特性を持つ部分多様体から構成されます。 ${\displaystyle (M,I)}$ ${\displaystyle N\subset M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle I}$

任意の偏微分方程式系は独立条件付きの外微分方程式系として表現できる。写像に対する k次の偏微分方程式系があるとする。${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle F^{r}\left(x,u,{\frac {\partial ^{|I|}u}{\partial x^{I}}}\right)=0,\quad 1\leq |I|\leq k}$。

この偏微分方程式系の任意の解の-ジェットのグラフは、ジェット空間の部分多様体であり、 -ジェットバンドル上の接触系の積分多様体です。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle (u^{a},p_{i}^{a},\dots ,p_{I}^{a})=(u^{a}(x),{\frac {\partial u^{a}}{\partial x^{i}}},\dots ,{\frac {\partial ^{|I|}u}{\partial x^{I}}})_{1\leq |I|\leq k}}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle du^{a}-p_{i}^{a}dx^{i},\dots ,dp_{I}^{a}-p_{Ij}^{p}dx^{j}{}_{1\leq |I|\leq k-1}}$${\displaystyle k}$

この考え方により、微分幾何学の手法で偏微分方程式の特性を分析することができます。たとえば、関連する外微分系を書き出すことで、偏微分方程式系にカルタン・ケーラー定理を適用できます。外微分系にカルタンの同値法を適用して、それらの対称性や微分同相不変量を調べることもできます。

微分イデアルが完全であるとは、それが の元を含む場合、何らかの に対してとなる任意の元を含むという性質を持つ場合です。 ${\displaystyle I\,}$${\displaystyle a\in I}$${\displaystyle b\in I}$${\displaystyle b^{n}=a}$${\displaystyle n>0\,}$

• Robert Bryant、Phillip Griffiths、Lucas Hsu、「微分方程式の幾何学に向けて」(DVI ファイル)、S.-T. Yau 編、Geometry, Topology, & Physics、Conf. Proc. Lecture Notes Geom. Topology、vol. IV (1995)、pp. 1–76、Internat. Press、ケンブリッジ、MA
• Robert Bryant、Shiing-Shen Chern、Robert Gardner、Phillip Griffiths、Hubert Goldschmidt、Exterior Differential Systems、Springer-Verlag、ハイデルベルク、1991 年。
• Thomas A. Ivey、JM Landsberg、『初心者のためのカルタン』。移動フレームと外微分システムによる微分幾何学。第 2 版。Graduate Studies in Mathematics、175。アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州、2016 年。
• HW Raudenbush, Jr.「理想理論と代数微分方程式」、アメリカ数学会誌、第36巻第2号（1934年4月）、361～368ページ。安定URL:[1] doi :10.1090/S0002-9947-1934-1501748-1
• JF Ritt、微分代数、ドーバー、ニューヨーク、1950 年。