レイチャウドリ方程式

一般相対性理論において、レイチャウドリ方程式、またはランダウ・レイチャウドリ方程式^{[ 1 ]}は、近傍の物質の運動を記述する基本的な結果である。

この方程式は、ペンローズ・ホーキング特異点定理の基本補題として、また一般相対性理論における厳密解の研究において重要であるが、一般相対性理論において重力はニュートンの万有引力理論と同様に、任意の2つの質量エネルギーの間に普遍的な引力として働くという我々の直感的な期待を、単純かつ一般的な形で検証するものであるため、それ自体にも興味深い。

この方程式は、インドの物理学者アマル・クマール・ライチャウドリ^{[ 2 ]}とソ連の物理学者レフ・ランダウ^{[ 3 ]}によって独立に発見された。

時間的単位ベクトル場が与えられた場合${\displaystyle {\vec {X}}}$（これは、必ずしも測地線ではなく、積分曲線を介した交差しない世界線の族または合同として解釈できる）Raychaudhuriの方程式は${\displaystyle D}$時空の次元は次のように書ける。

${\displaystyle {\dot {\theta }}=-{\frac {\theta ^{2}}{D-1}}-2\sigma ^{2}+2\omega ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}+{{\dot {X}}^{a}}_{;a}}$

どこ

${\displaystyle 2\sigma ^{2}=\sigma _{mn}\,\sigma ^{mn},\;2\omega ^{2}=\omega _{mn}\,\omega ^{mn}}$

は、せん断テンソルの（非負の）二次不変量である。

$\displaystyle \sigma _{ab}=\theta _{ab}-{\frac {1}{D-1}}\,\theta \,h_{ab}}$

そして渦度テンソル

${\displaystyle \omega _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{[m;n]}}$

それぞれ。ここで、

${\displaystyle \theta _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{(m;n)}}$

は展開テンソルです。${\displaystyle \theta }$は、展開スカラーと呼ばれるそのトレースであり、

${\displaystyle h_{ab}=g_{ab}+X_{a}\,X_{b}}$

超平面への射影テンソルは、${\displaystyle {\vec {X}}}$また、ドットは合同式における世界線に沿って数えられた固有時間に関する微分を表します。最後に、潮汐テンソルのトレースは${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}}$次のように書くこともできます

${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}}$

この量は、レイチャウドリ・スカラーと呼ばれることもある。

膨張スカラーは、中心で共動する観測者によって測定される、小さな物質球の体積が時間に対して変化する割合を表します（そのため、負の値をとることもあります）。言い換えれば、上記の式は、時間的合同の膨張に関する発展方程式を示しています。この量の（固有時間に関する）微分が、ある世界線に沿って（ある事象の後）負になる場合、その世界線に沿って重心を持つ小さな物質球の膨張は、必ず再収縮を伴います。そうでない場合は、膨張が継続する可能性があります。

せん断テンソルは、当初球形であった物質の塊が楕円形に変形する傾向を測定します。渦度テンソルは、近傍の世界線が互いにねじれる傾向を測定します（このようなねじれが生じると、小さな物質の塊は回転しており、これはゼロでない渦度を示す通常の流体の流れにおける流体要素に起こる現象と同様です）。

レイチャウドリ方程式の右辺は、2種類の項から構成されています。

1. （再）崩壊を促進する用語
   • 初期状態ではゼロでない展開スカラー、
   • 非ゼロせん断、
   • 潮汐テンソルの正のトレース。これは、物理的に妥当な流体解などの最も重要なタイプの解に対して成り立つ強いエネルギー条件を仮定することによって保証される条件です。
2. （再）崩壊に反対する用語
   • ニュートンの遠心力に対応するゼロでない渦度、
   • 加速度ベクトルの正の発散（例えば、球対称爆発による外向きの加速度、あるいはより平易な例として、自己重力によってまとまった流体球内の流体要素に作用する体積力による加速度）。

通常はどちらか一方の主張が優先される。しかし、バランスが取れる場合もある。そのバランスとは、次のようなものである。

• 安定:完全流体の球の静水圧平衡の場合(例えば、恒星内部のモデルの場合)、膨張、せん断、渦度はすべて消滅し、加速度ベクトルの半径方向の発散 (各流体の塊に必要な体積力は周囲の流体の圧力によって提供される) が、4 次元の完全流体の場合の Raychaudhuri スカラーに対抗します。${\displaystyle E[{\vec {X}}]^{a}{}_{a}=4\pi (\mu +3p)}$幾何単位系において。ニュートン重力では、潮汐テンソルのトレースは${\displaystyle 4\pi \mu }$一般相対性理論では、圧力が重力に抵抗する傾向は、この項によって部分的に相殺され、特定の状況下では重要になることがある。
• 不安定：例えば、ゲーデル解における塵粒子の世界線は、せん断、膨張、加速度がゼロであるが、非ゼロの真空エネルギー（「宇宙定数」）による一定のレイチャウドリ・スカラーと釣り合う一定の渦度を持つ。

時空のどこかの領域で強いエネルギー条件が成り立つと仮定し、${\displaystyle {\vec {X}}}$渦度がゼロである時間的測地線単位ベクトル場、あるいはそれと同等に、超曲面直交場である。例えば、この状況は、アインシュタイン場方程式の厳密なダスト解である宇宙論モデルにおけるダスト粒子の世界線を研究する際に生じる可能性がある（ただし、これらの世界線が互いにねじれていない場合に限る。ねじれている場合は、合同関係にゼロでない渦度が生じる）。

すると、レイチャウドリの方程式は次のようになる。

${\displaystyle {\dot {\theta }}=-{\frac {\theta ^{2}}{D-1}}-2\sigma ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}}$

右辺は常に負またはゼロなので、展開スカラーは時間とともに増加することはありません。

最後の2つの項は非負なので、

${\displaystyle {\dot {\theta }}\leq -{\frac {\theta ^{2}}{D-1}}}$

この不等式を固有時間に関して積分すると${\displaystyle \tau }$与える

${\displaystyle {\frac {1}{\theta }}\geq {\frac {1}{\theta _{0}}}+{\frac {\tau }{D-1}}}$

初期値${\displaystyle \theta _{0}}$展開スカラーの値が負の場合、これは測地線が焦線(${\displaystyle \theta }$（マイナス無限大になる）適切な時間内に最大${\displaystyle (D-1)/|\theta _{0}|}$初期値の測定後${\displaystyle \theta _{0}}$これは膨張スカラーのことである。必ずしも曲率特異点との遭遇を意味するわけではないが、塵の運動に関する我々の数学的記述が破綻していることを示している。

また、零測地線合同式に関するレイチャウドリの方程式には、光学的（または零）バージョンも存在する 。${\displaystyle {\dot {\theta }}=-{\frac {1}{D-2}}\theta ^{2}-2\sigma ^{2}+2\omega ^{2}-R_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }}$。

前述の時間的レイチャウドリ方程式とよく似ているが、時間的ケースでは存在しなかった合同が測地線であるという要件が新たに加わったこと、そして、${\displaystyle U_{a}}$プロジェクターのように軽い${\displaystyle h_{ab}}$代わりに次のように定義されます。${\displaystyle g_{ab}+N_{a}U_{b}+U_{a}N_{b}}$、 どこ${\displaystyle N_{a}}$は、${\displaystyle N_{a}N^{a}=0}$そして${\displaystyle U_{a}N^{a}=-1}$（${\displaystyle N}$決して一意ではないが、その2つの条件が満たされている限り、正確な選択は問題にならないことを示すことができる。

これらの変化の最も顕著な結果は、${\displaystyle \theta }$これはもはや体積の分数的増加ではなく、面積の分数的増加を表している。${\displaystyle h_{a}^{b}}$今度は 2 次元部分空間 (より正確には 2次元部分空間) に投影します。これは、${\displaystyle D=4}$)

• 合同性（一般相対性理論） 、運動学的分解とレイチャウドリ方程式の導出について
• 重力特異点
• 集束定理の応用におけるペンローズ・ホーキング特異点定理

• ポアソン、エリック（2004）。相対論者のツールキット：ブラックホール力学の数学。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-83091-5。レイチャウドリの方程式（時間的測地線とヌル測地線の両方について）および集束定理に関する優れた解説については、第2章を参照してください。
• キャロル、ショーン・M. (2004).時空と幾何学：一般相対性理論入門. サンフランシスコ：アディソン・ウェスリー. ISBN 0-8053-8732-3。付録Fを参照してください。
• ステファニ、ハンス；クレイマー、ディートリッヒ；マッカラム、マルコム；ホーンセラース、コーネリウス；ヘルトル、エドゥアルト（2003）。アインシュタイン場の方程式の厳密解（第2版）。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-46136-7。測地線合同式に関する非常に詳細な解説、およびレイチャウドリ方程式の一般形については、第6章を参照してください。
• ホーキング、スティーブン＆エリス、GFR（1973）。時空の大規模構造。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-09906-4。レイチャウドリ方程式の一般形については、4.1節を 参照してください。
• Raychaudhuri, AK (1955). "相対論的宇宙論 I.". Phys. Rev. 98 ( 4): 1123–1126 . Bibcode : 1955PhRv...98.1123R . doi : 10.1103/PhysRev.98.1123 . hdl : 10821/7599 . レイチャウドリ氏が自身の方程式を紹介した論文。
• Dasgupta, Anirvan; Nandan, Hemwati & Kar, Sayan (2009). "糸状ブラックホール背景における測地線流の運動学". Phys. Rev. D . 79 (12) 124004. arXiv : 0809.3074 . Bibcode : 2009PhRvD..79l4004D . doi : 10.1103/PhysRevD.79.124004 . S2CID 118628925 . 3つの運動学的量（すなわち、膨張スカラー、せん断、回転）に関するRaychaudhuri方程式の一般形の導出については、第IV節を参照してください。
• Kar、Sayan、SenGupta、スミトラ (2007)。 「ライショードリ方程式: 簡単なレビュー」。プラマナ。69 (1): 49–76 . arXiv : gr-qc/0611123。Bibcode : 2007Prama..69...49K。土井：10.1007/s12043-007-0110-9。S2CID 119438891。 レイチャウドリ方程式に関する解説については、こちらをご覧ください。

• ジョン・C・バエズとエモリー・F・バンによる『アインシュタインの場の方程式の意味』。このよく知られた（そして強くお勧めする）半専門的な解説書では、アインシュタインの方程式が何を意味しているのかを、レイチャウドリの方程式を中心に解説している。
• Raychaudhuri, AK (1979).理論宇宙論. Oxford Science Publications. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851462-6。