オイラー数

組合せ論において、オイラー数は 、1 から までの数の順列のうち、ちょうどその要素が前の要素よりも大きい順列 ( 「上昇」を伴う順列) の数です。${\textstyle A(n,k)}$${\textstyle n}$${\textstyle k}$${\textstyle k}$

レオンハルト・オイラーは、 1755 年の著書「微分法の原理」で、これらと関連する多項式について研究しました。

の他の表記はおよびです。 ${\textstyle A(n,k)}$${\textstyle E(n,k)}$${\displaystyle \textstyle \left\langle {n \atop k}\right\rangle }$

オイラー多項式は 指数生成関数によって定義される。 ${\displaystyle A_{n}(t)}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }A_{n}(t)\,{\frac {x^{n}}{n!}}={\frac {t-1}{te^{(t-1)\,x}}}.}$

オイラー数は オイラー多項式の係数として定義できます。 ${\displaystyle A(n,k)}$

${\displaystyle A_{n}(t)=\sum _{k=0}^{n}A(n,k)\,t^{k}.}$

の明示的な式は^[1]である。${\textstyle A(n,k)}$

${\displaystyle A(n,k)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {n+1}{i}}(k+1-i)^{n}.}$

• を固定すると、0 回の上昇を持つ順列が 1 つだけ存在します: 。実際、すべてのについては、です。これには、空の数の集合 が正式に含まれます。したがって です。${\textstyle n}$${\textstyle (n,n-1,n-2,\ldots ,1)}$${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1}$${\displaystyle n}$${\textstyle A(n,0)=1}$${\textstyle n=0}$${\textstyle A_{0}(t)=A_{1}(t)=1}$
• 明示的な式は を意味し、のシーケンスはとなります。${\textstyle k=1}$${\textstyle A(n,1)=2^{n}-(n+1)}$${\displaystyle n}$${\textstyle 0,0,1,4,11,26,57,\dots }$
• 上昇を含む順列を完全に逆にすると、上昇を含む別の順列が作成されます。したがって。したがって、上昇を含む単一の順列、つまり上昇順列も存在します。したがって も等しくなります。${\textstyle k}$${\textstyle nk-1}$${\textstyle A(n,k)=A(n,nk-1)}$${\textstyle n-1}$${\textstyle (1,2,\ldots ,n)}$${\textstyle A(n,n-1)}$${\displaystyle 1}$
• 上限は です。先ほど説明した境界内では、値は を超えます。${\textstyle A(n,k)\leq (k+1)^{n}\cdot (n+2)^{k}}$${\displaystyle 1}$
• の場合、値は形式的にゼロであり、 上の多くの和は までの上付きでのみ表すことができることを意味します。また、多項式がに対して実際に次であることも意味します。${\textstyle k\geq n>0}$${\textstyle k}$${\textstyle n-1}$${\displaystyle A_{n}(t)}$ ${\textstyle n-1}$${\textstyle n>0}$

三角形の配列の数字の表は、オイラーの三角形またはオイラーの三角形と呼ばれます。これは、パスカルの三角形といくつかの共通の特徴を共有しています。の( OEISのシーケンスA008292 ) の値は次のとおりです。 ${\textstyle A(n,k)}$${\textstyle 0\leq n\leq 9}$

の値がより大きい場合、再帰式[ ^2]を使用して計算することもできます。${\textstyle n}$${\textstyle A(n,k)}$

${\displaystyle A(n,k)=(nk)\,A(n-1,k-1)+(k+1)\,A(n-1,k).}$

この式は組み合わせの定義から導き出されるため、理論の自然な出発点として機能します。

との値が小さい場合、 の値は手計算で計算できます。例えば、 ${\textstyle n}$${\textstyle k}$${\textstyle A(n,k)}$

再帰性を一つの例に適用すると、

${\displaystyle A(4,1)=(4-1)\,A(3,0)+(1+1)\,A(3,1)=3\cdot 1+2\cdot 4=11.}$

同様に、オイラー多項式は再帰式で計算できる。

${\displaystyle A_{0}(t)=1,}$

${\displaystyle A_{n}(t)=A_{n-1}'(t)\cdot t\,(1-t)+A_{n-1}(t)\cdot (1+(n-1)\,t),{\text{ }}n>1の場合。}$

2番目の式は帰納的形式に変換することができ、

${\displaystyle A_{n}(t)=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k}}A_{k}(t)\cdot (t-1)^{n-1-k},{\text{ }}n>1の場合。}$

有限集合を有限個の小集合に分割する性質について、小集合の濃度の合計は大集合の濃度に等しい。オイラー数は要素の順列を分割するので、その合計は階乗に等しい。すなわち、 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}A(n,k)=n!,{\text{ }}n>0の場合。}$

および。空和規則との矛盾を避けるため、 のみの定理を単純に述べるのが便利です。 ${\displaystyle A(0,0)=0!}$${\displaystyle n>0}$

より一般的には、区間^[3]上で積分可能な固定関数に対して、${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$${\displaystyle (0,n)}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}A(n,k)\,f(k)=n!\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}f\left(\left\lfloor x_{1}+\cdots +x_{n}\right\rfloor \right){\mathrm {d} }x_{1}\cdots {\mathrm {d} }x_{n}}$

ウォーピツキーの恒等式^[4]は二項係数を持つオイラー数の線形結合として表現される。 ${\textstyle x^{n}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}A(n,k){\binom {x+k}{n}}=x^{n}.}$

そこから、

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}k^{n}=\sum _{k=0}^{n-1}A(n,k){\binom {m+k+1 {n+1}}.}$

の固定値に対するオイラー数の交代和はベルヌーイ数と関係がある。${\textstyle n}$ ${\textstyle B_{n+1}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}A(n,k)=2^{n+1}(2^{n+1}-1){\frac {B_{n+1}}{n+1}},{\text{ }}n>0の場合。}$

さらに、

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}{\frac {A(n,k)}{\binom {n-1}{k}}}=0,{\text{ for }}n>1}$

そして

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}{\frac {A(n,k)}{\binom {n}{k}}}=(n+1)B_{n},{\text{ for }}n>1}$

対称性の性質は次のことを意味します。

${\displaystyle A_{n}(t)=t^{n-1}A_{n}(t^{-1})}$

オイラー数はn^乗の数列の生成関数に関係します。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }i^{n}x^{i}={\frac {1}{(1-x)^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}A(n,k)\,x^{k+1}={\frac {x}{(1-x)^{n+1}}}A_{n}(x)}$

オイラー多項式の明示的な表現は^{[5]である。}

$${\displaystyle A_{n}(t)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}k!(t-1)^{nk}}$$

ここで、 は第二種スターリング数です。 ${\textstyle \left\{{n \atop k}\right\}}$

各kについて、その順列内のkの 2 つの出現の間に現れるすべての数がkより大きいという性質を持つ多重集合 の順列は、二重階乗数で数えられます。 と表記される 2 次オイラー数は、ちょうどm回の上昇があるすべての順列の数を数えます。たとえば、n = 3 の場合、そのような順列は 15 個あり、上昇がない順列が 1 個、上昇が 1 回ある順列が 8 個、上昇が 2 回ある順列が 6 個あります。 ${\textstyle \{1,1,2,2,\ldots ,n,n\}}$${\textstyle (2n-1)!!}$${\textstyle \left\langle \!\left\langle {n \atop m}\right\rangle \!\right\rangle }$

332211,

221133、221331、223311、233211、113322、133221、331122、331221、

112233、122133、112332、123321、133122、122331。

2 次オイラー数は、上記の定義から直接導かれる再帰関係を満たします。

${\displaystyle \left\langle \!\!\left\langle {n \atop k}\right\rangle \!\!\right\rangle =(2n-k-1)\left\langle \!\!\left\langle {n-1 \atop k-1}\right\rangle \!\!\right\rangle +(k+1)\left\langle \!\!\left\langle {n-1 \atop k}\right\rangle \!\!\right\rangle ,}$

n = 0の初期条件はアイバーソン括弧表記で次のように表される。

${\displaystyle \left\langle \!\!\left\langle {0 \atop k}\right\rangle \!\!\right\rangle =[k=0].}$

同様に、2次のオイラー多項式（ここではP _nと表記）は（標準的な表記法は存在しない）

${\displaystyle P_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}\left\langle \!\!\left\langle {n \atop k}\right\rangle \!\!\right\rangle x^{k}}$

そして上記の再帰関係は、シーケンスP _n ( x )の再帰関係に変換されます。

${\displaystyle P_{n+1}(x)=(2nx+1)P_{n}(x)-x(x-1)P_{n}^{\prime }(x)}$

初期条件は です。後者の再発式は、積分因子を使って、もう少し簡潔な形で書くことができます。 ${\displaystyle P_{0}(x)=1.}$

${\displaystyle (x-1)^{-2n-2}P_{n+1}(x)=\left(x\,(1-x)^{-2n-1}P_{n}(x)\right)^{\prime }}$

有理関数は

${\displaystyle u_{n}(x):=(x-1)^{-2n}P_{n}(x)}$

単純な自律再帰を満たす:

${\displaystyle u_{n+1}=\left({\frac {x}{1-x}}u_{n}\right)^{\prime },\quad u_{0}=1}$

ここから、2 次オイラー多項式は として得られ、2 次オイラー数はその係数として得られます。 ${\textstyle P_{n}(x)=(1-x)^{2n}u_{n}(x)}$

次の表は、最初のいくつかの 2 次オイラー数を示しています。

n行目の合計は値 でもあり、 です。 ${\textstyle P_{n}(1)}$${\textstyle (2n-1)!!}$

2 次オイラー数のインデックスには、次の 3 つの種類があります。

• （OEISの配列A008517）RiordanとComtetに従って、
• （OEISの配列A201637）Graham、Knuth、Patashnikに従って、
• ( OEISの配列A340556 )、Gessel と Stanley の定義を拡張したものです。

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• 「オイラー数」。MathPages.com。
• Weisstein、Eric W.「オイラー数」。MathWorld。
• Weisstein, Eric W.「オイラーの数三角形」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「ヴォルピツキーのアイデンティティ」。マスワールド。
• Weisstein、Eric W.「2 次オイラー三角形」。MathWorld。
• オイラー行列（一般化された行インデックス、発散する合計）