オイラーの四平方恒等式

数学において、オイラーの四平方の等式は、それぞれが 4 つの平方の和である 2 つの数の積は、それ自体が 4 つの平方の和であるということを述べています。

可換環からの任意の四重項のペアに対して、次の式は等しい。

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)\\[3mu]&\qquad =\left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}\right)^{2}\\[3mu]&\qquad \qquad +\left(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

オイラーは1748年5月4日付けのゴールドバッハ宛の手紙の中でこの等式について書いている^{[1] [2] （ただし、彼は上記とは異なる符号規則を使用している）。これは}初等代数学で検証できる。

この恒等式は、ラグランジュが四平方定理 を証明するために使用しました。より具体的には、素数の定理を証明すれば十分であり、その後、より一般的な定理が続くことを意味します。上で使用した符号規則は、2 つの四元数を乗算して得られる符号に対応しています。他の符号規則は、任意の を に、および/または任意のを に変更することで取得できます。 ${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle -a_{k}}$${\displaystyle b_{k}}$${\displaystyle -b_{k}}$

と が実数である場合、この恒等式は、2つの四元数の積の絶対値がそれらの絶対値の積に等しいという事実を表します。これは、複素数に対するブラフマグプタ-フィボナッチの2平方恒等式と同じです。この性質は、合成代数の決定的な特徴です。 ${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle b_{k}}$

ハーヴィッツの定理は、形の同一性は、

$${\displaystyle \left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\dots +a_{n}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+\dots +b_{n}^{2}\right)=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}+\dots +c_{n}^{2}}$$

ここで、はの双線形関数であり、 n = 1、2、4、または 8 の 場合にのみ可能です。${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$

コメント: オイラーの 4 平方恒等式の証明は、単純な代数評価によって行われます。四元数は、4 平方恒等式から派生します。これは、4 次元ベクトルの 2 つの内積の積として記述でき、再び 4 次元ベクトルの内積を生成します: ( a · a )( b · b ) = ( a × b )·( a × b )。これは、四元数の乗算規則a × bを定義します。これは、オイラーの恒等式と四元数の数学を単純に反映しています。四元数は、いわば、4 平方恒等式の「平方根」です。しかし、証明を続けましょう:

とを四元数のペアとする。それらの四元数共役は、とである。すると、 ${\displaystyle \alpha =a_{1}+a_{2}i+a_{3}j+a_{4}k}$${\displaystyle \beta =b_{1}+b_{2}i+b_{3}j+b_{4}k}$${\displaystyle \alpha ^{*}=a_{1}-a_{2}i-a_{3}j-a_{4}k}$${\displaystyle \beta ^{*}=b_{1}-b_{2}i-b_{3}j-b_{4}k}$

$${\displaystyle A:=\alpha \alpha ^{*}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}}$$

そして

$${\displaystyle B:=\beta \beta ^{*}=b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}.}$$

これら2つの積は であり、 は実数なので四元数 と可換であり、次の式が得られる。 ${\displaystyle AB=\alpha \alpha ^{*}\beta \beta ^{*}}$${\displaystyle \beta \beta ^{*}}$${\displaystyle \alpha ^{*}}$

$${\displaystyle AB=\alpha \beta \beta ^{*}\alpha ^{*}.}$$

四元数はを関連付けるので、上記では括弧は不要です。積の共役は積の因数の共役の交換積に等しいので、

$${\displaystyle AB=\alpha \beta (\alpha \beta )^{*}=\gamma \gamma ^{*}}$$

ここで、とのハミルトン積は次のようになります。 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\left(a_{1}+\langle a_{2},a_{3},a_{4}\rangle \right)\left(b_{1}+\langle b_{2},b_{3},b_{4}\rangle \right)\\[3mu]&=a_{1}b_{1}+a_{1}\langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle +\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle b_{1}+\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle \\[3mu]&=a_{1}b_{1}+\langle a_{1}b_{2},\ a_{1}b_{3},\ a_{1}b_{4}\rangle +\langle a_{2}b_{1},\ a_{3}b_{1},\ a_{4}b_{1}\rangle \\&\qquad -\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \cdot \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle +\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \times \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle \\[3mu]&=a_{1}b_{1}+\langle a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1},\ a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1},\ a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}\rangle \\&\qquad -a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}+\langle a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3},\ a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4},\ a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\rangle \\[3mu]&=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})\\&\qquad +\langle a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3},\ a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4},\ a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\rangle \\[3mu]\gamma &=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})i\\&\qquad +(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})j+(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})k.\end{aligned}}}$$

それから

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{*}&=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})-(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})i\\&\qquad -(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})j-(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})k.\end{aligned}}}$$

がスカラー部分で がベクトル部分である場合 、${\displaystyle \gamma =r+{\vec {u}}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\vec {u}}=\langle u_{1},u_{2},u_{3}\rangle }$${\displaystyle \gamma ^{*}=r-{\vec {u}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma \gamma ^{*}&=(r+{\vec {u}})(r-{\vec {u}})=r^{2}-r{\vec {u}}+r{\vec {u}}-{\vec {u}}{\vec {u}}=r^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}-{\vec {u}}\times {\vec {u}}\\&=r^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}=r^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}.\end{aligned}}}$$

それで、

$${\displaystyle {\begin{aligned}AB=\gamma \gamma ^{*}&=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}\\&\qquad +(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}.\end{aligned}}}$$

フィスターは任意の偶数乗に対して別の平方恒等式を発見した: ^[3]

が1 組の変数の有理関数であり、それぞれが分母 を持つ場合、すべての に対して が可能です。 ${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle n=2^{m}}$

したがって、別の 4 平方の恒等式は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)\\[5mu]&\quad =\left(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}+a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}-a_{4}b_{2}\right)^{2}\\&\quad \qquad +\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+{\frac {a_{3}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}-{\frac {a_{4}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-{\frac {a_{4}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}-{\frac {a_{3}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}\end{aligned}}}$$

ここで、およびは次のように与えられる。 ${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle u_{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&=b_{1}^{2}b_{4}-2b_{1}b_{2}b_{3}-b_{2}^{2}b_{4}\\u_{2}&=b_{1}^{2}b_{3}+2b_{1}b_{2}b_{4}-b_{2}^{2}b_{3}\end{aligned}}}$$

ちなみに、次の式も成り立ちます。

$${\displaystyle u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}\right)^{2}\left(b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)}$$

• ブラフマグプタ・フィボナッチ等式（2つの平方数の和）
• デゲンの8平方のアイデンティティ
• フィスターの16平方の同一性
• ラテン方陣

• 代数的恒等式のコレクション 2012-03-06 にWayback Machineでアーカイブされました
• [1] オイラーからゴールドバッハへの手紙CXV