経験的プロセス

確率論において、経験的過程とは、経験分布関数の期待値からの偏差を特徴付ける確率過程である。平均場理論では、極限定理（物体の数が多くなるにつれて）が考慮され、中心極限定理を経験的尺度に一般化する。経験過程理論の応用は、ノンパラメトリック統計に見られる。^[1]

Rにおいて共通の累積分布関数F ( x )を持つ独立かつ同一分布のランダム変数X ₁ , X ₂ , ... X _n に対して、経験分布関数は次のように定義される。

${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}I_{(-\infty ,x]}(X_{i}),}$

ここで、I _{C は}集合Cの指示関数です。

任意の（固定された） xに対して、F _n ( x )は大数の強い法則によってほぼ確実にF ( x )に収束するランダム変数の列です。つまり、F _nは点ごとにFに収束します。グリベンコとカンテリは、グリベンコ-カンテリの定理によってF _nがFに一様収束することを証明することで、この結果を補強しました。^[2]

経験的尺度の中心化およびスケール化バージョンは符号付き尺度である。

${\displaystyle G_{n}(A)={\sqrt {n}}(P_{n}(A)-P(A))}$

これは、測定可能な関数f上の写像を誘導し、次のように表される 。

${\displaystyle f\mapsto G_{n}f={\sqrt {n}}(P_{n}-P)f={\sqrt {n}}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(X_{i})-\mathbb {E} f\right)}$

中心極限定理により、固定された測定可能な集合Aに対して、は分布的に正規確率変数N (0,  P ( A )(1 −  P ( A )))に収束します。同様に、固定された関数fに対して、および が存在する場合、は分布的に正規確率変数 に収束します。 ${\displaystyle G_{n}(A)}$ ${\displaystyle G_{n}f}$${\displaystyle N(0,\mathbb {E} (f-\mathbb {E} f)^{2})}$${\displaystyle \mathbb {E} f}$${\displaystyle \mathbb {E} f^{2}}$

意味

${\displaystyle {\bigl (}G_{n}(c){\bigr )}_{c\in {\mathcal {C}}}}$は、 Sの測定可能な部分集合の集合によってインデックス付けされる経験的プロセスと呼ばれます。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\bigl (}G_{n}f{\bigr )}_{f\in {\mathcal {F}}}}$は、 Sからまでの測定可能な関数の集合である によって索引付けされる経験的過程 と呼ばれます。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

経験的過程の分野における重要な結果は、ドンスカーの定理です。これは、ドンスカー類の研究につながりました。ドンスカー類とは、これらの類によってインデックス付けされた経験的過程が、特定のガウス過程に弱収束するという有用な特性を持つ関数の集合です。ドンスカー類がグリベンコ-カンテリ類であることが示せますが、その逆は一般には当てはまりません。

例として、経験分布関数を考えてみましょう。実数値のiidランダム変数X ₁、X ₂、...、X _nは次のように表されます。

${\displaystyle F_{n}(x)=P_{n}((-\infty,x])=P_{n}I_{(-\infty,x]}.}$

この場合、経験的プロセスはクラスによってインデックス付けされます。これはドンスカークラスであることが示されており、特に、 ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{(-\infty,x]:x\in \mathbb {R} \}.}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\sqrt {n}}(F_{n}(x)-F(x))}$ブラウン橋B ( F ( x ) )に弱収束する。${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {R} )}$

• クマラゼの変容
• 対策の弱い収束
• グリヴェンコ・カンテリ定理

• ビリングスリー、P. (1995)。確率と測定（第3版）。ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 0471007102。
• Donsker, MD (1952). 「Doob のヒューリスティックアプローチの Kolmogorov-Smirnov 定理への適用と拡張」.数理統計年報. 23 (2): 277–281. doi : 10.1214/aoms/1177729445 .
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• Dudley, RM (1999)。「均一中心極限定理」。Cambridge Studies in Advanced Mathematics。第 63 巻。ケンブリッジ、イギリス: Cambridge University Press。
• Kosorok, MR (2008).経験的プロセスとセミパラメトリック推論入門. Springer Series in Statistics. doi :10.1007/978-0-387-74978-5. ISBN 978-0-387-74977-8。
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• David Pollard 著の「Empirical Processes: Theory and Applications」はオンラインで入手可能な教科書です。
• Michael Kosorok 著の「Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference」は、オンラインで入手可能な別の教科書です。