ドンスカークラス

関数のクラスは、中心極限定理の関数的一般化であるドンスカー定理を満たす場合、ドンスカークラスとみなされます。

を確率空間 上の平方積分可能関数の集合とします。経験的過程はによって定義される 集合 上の確率過程であり 、は からのiidサンプルに基づく経験的測度です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}},P)}$${\displaystyle \mathbb {G} _{n}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$$${\displaystyle \mathbb {G} _{n}(f)={\sqrt {n}}(\mathbb {P} _{n}-P)(f)}$$${\displaystyle \mathbb {P} _{n}}$${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$${\displaystyle P}$

測定可能な関数のクラスは、経験的過程が分布的に空間内のタイトなボレル測定可能な要素に収束する場合、ドンスカークラスと呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle (\mathbb {G} _{n})_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle \ell ^{\infty }({\mathcal {F}})}$

中心極限定理によれば、関数の任意の有限集合に対して、ランダムベクトルは分布的に多変量正規ベクトルに収束する。したがって、クラスがドンスカーであるのは、シーケンスが^[1]で漸近的にタイトである場合に限ります。${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots ,f_{k}\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle (\mathbb {G} _{n}(f_{1}),\mathbb {G} _{n}(f_{2}),\dots ,\mathbb {G} _{n}(f_{k}))}$${\displaystyle n\rightarrow \infty }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle (\mathbb {G} _{n})_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle \ell ^{\infty }({\mathcal {F}})}$

有限のダドリーのエントロピー積分を持つ関数のクラスはドンスカークラスである。これには、定義される関数のクラスから形成される経験分布関数と、有界パラメータ空間上のパラメトリッククラスが含まれる。より一般的には、任意のVCクラスもドンスカークラスである。^[2]${\displaystyle \mathbb {I} _{(-\infty ,t]}}$

ドンスカー類の関数の最小値または最大値をとることによって形成される関数のクラスもドンスカー類を形成する。^[2]

ドンスカーの定理は、経験分布関数が適切に正規化されると、ブラウン橋、つまり連続ガウス過程に弱収束することを述べています。これは、中心極限定理に類似した結果が経験過程に当てはまることを保証し、それによって幅広い統計アプリケーションで漸近推論を可能にするため重要です。^[3]

ドンスカークラスの概念は漸近統計の分野で影響力を持っています。関数クラスがドンスカークラスであるかどうかを知ることは、経験的プロセスの限界分布を理解するのに役立ち、関数推定量と仮説検定の信頼帯の構築を容易にします。^[3]

• 経験的プロセス
• 中心極限定理
• ブラウン橋
• グリヴェンコ・カンテリ定理
• ヴァプニク・チェルヴォネンキス理論
• 弱い収束（確率）