平等主義的等価性

平等等価性(EE) は、公平な分割の基準です。平等等価分割では、各エージェントが自分の取り分が に等しいと感じるような特定の「参照バンドル」が存在します。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$

EE 公平性原則は通常、パレート効率性と組み合わせられます。PEEEA は、パレート効率的かつ平等主義的で ある配分です。

資源のセットは複数のエージェントに分割され、各エージェントはバンドルを受け取ります。各エージェントはバンドル上の全順序である主観的な選好関係を持ちます。 これらの選好関係は通常の方法で同値関係を誘導します。${\displaystyle i}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \succeq _{i}}$${\displaystyle X\sim_{i}Y}$${\displaystyle X\succeq _{i}Y\succeq _{i}X}$

あらゆる に対して、次の条件を満たすバンドルが存在する場合、割り当ては平等等価と呼ばれます。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle X_{i}\sim _{i}Z}$

配分は、パレート効率的かつ平等主義的に同等である場合にPEEEAと呼ばれます。

EE基準は1978年に エリシャ・パズナーとデイヴィッド・シュメイドラーによって導入されました。 ^{[1] [2]}

これまで、経済学における公平性の基準として、嫉妬のなさ（EF）が主に用いられてきた。EFは順序基準であるという利点がある。つまり、個人の選好関係のみに基づいて定義できる。異なるエージェントの効用を比較したり、エージェントの効用関数が正規化されていると仮定したりする必要がない。しかし、EFはパレート効率（PE）と両立しない可能性がある。特に、生産を伴う標準的な経済では、PEとEFの両方を満たす配分は存在しない可能性がある。^[3]

EE は EF と同様に順序基準であり、個人の選好関係に基づいてのみ定義できます。ただし、PE とは常に互換性があり、生産経済であっても PEEEA (PE と EE の割り当て) が常に存在します。Pazner と Schmeidler は PEEEA を次のように非公式に説明しています。

「消費者が 2 人、商品が 2 つある場合を考えてみましょう (ただし、議論のすべてのステップは、エージェントと商品の数に関係なく適用できることに注意してください...)。各消費者に合計の賦与のちょうど半分が与えられると仮定します。この平等な分配は、一般に PE ではありません。原点から総賦与のベクトルを通る商品空間の光線を考えてみましょう。平等な分配は、この光線に沿って各人に同じ束が与えられることで表されます。

平等主義的分配が PE でない場合、（単調性と選好の連続性により）各人を光線に沿って少しずつ上に移動させると、依然として実現可能な効用分布が得られます。これは、開始効用分布が効用可能性集合の内部にあるためです。特に、各人を商品光線に沿ってまったく同じ方法で同時に上に移動させると、最終的には効用可能性境界にある効用分布に到達します。これは、各消費者の観点から、各消費者に同じバンドルを与える（これは、総賦存量の平等主義的分配よりも厳密に大きいため、それ自体は実現不可能です）光線に沿った仮想的な（実現不可能な）分配と同等のパレート効率的な割り当てが存在することを意味します。したがって、この PE 割り当ては、仮想的な（元の経済よりも大きい）経済における平等主義的分配と同等です...

結果として得られる配分セットは、パレート効率的かつ平等等価な配分セット (PEEEA) と呼ばれます。これは、基礎となる効用レベルの分布が何らかの平等経済によって生成された可能性があるという、特定の公平性特性を持つ配分に対する経済のパレート セットの制限です。

特別な場合として、同質で分割可能な財が有限個あると仮定します。を特定の束とします。任意の に対して、を各財の量がにおけるその財の量を掛けた束とします。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle r\in [0,1]}$${\displaystyle rW}$${\displaystyle r}$${\displaystyle W}$

各エージェントの選好関係が効用関数 によって表され、次のように調整されていると仮定します。この場合、EE 配分の特殊なケースは、すべての に対して次の配分となります。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle V_{i}(rW)=r}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle V_{i}(X_{i})=r}$

言い換えれば、すべてのエージェントは同じ調整された効用を持ちます。この場合、パレート効率的な EE 割り当て (PEEEA) は、最小効用を最大化する割り当てである 最大最小割り当てと一致します。

マキシミン原理は数値的な効用に依存することに注意してください。したがって、順序的な選好関係では直接使用できません。EE 原理は順序的であり、マキシミン原理で使用できるように効用を調整する特定の方法を提案します。

がすべてのリソースの束（総賦存量）である特別なケースでは、平等等価分割は公平分割とも呼ばれます。 ${\displaystyle W}$

エルヴェ・ムーランはEEルールのこの特別なケースを次のように説明している: ^{[4] : 242}

「EE ソリューションは、分割される商品バンドルの「ニューメレール」に沿って測定された効用をエージェント間で均等化します。言い換えると、このソリューションは、各参加者に、（各自の好みで）パイの同じシェアと同等とみなす割り当てを与えます。ここで、「パイ」は分割されるリソースを表し、シェアはパイの相似削減です。つまり、これは各商品の利用可能な総量の同じ割合です。」

以下の例は^{[4]に基づいています。240–243}

• 都市は AB と C の 3 つあります。
• A から B への道路と、B から C への道路があります。
• 各道路は合計 100 ユニットの交通を運ぶことができます。
• エージェントは 100 個あり、そのうち 40 個は A から B に、30 個は B から C に、30 個は A から C にトラフィックを渡す必要があります。
• 各エージェントの効用は、そのエージェントが通過を許可されている交通量に等しくなります。したがって、エージェントが x 単位の AB と y 単位の BC を取得した場合、そのエージェントの効用はx (AB グループの場合)、y (BC グループの場合)、またはmin(x,y) (AC グループの場合) になります。

問題は、各道路の 100 単位の容量を 100 エージェント間でどのように分割するかです。次に、考えられる解決策をいくつか示します。

• 各エージェントにバンドル、つまり各道路の 1 単位を与えるとします (したがって効用は 1)。この分割は平等主義的ですが、AB エージェントと BC エージェントは必要のない道路のシェアを交換することで福祉を向上できるため、明らかに PE ではありません。${\displaystyle (x=1,y=1)}$
• 各エージェントに、ある に対してrの効用を与えるとします。この場合、AB の単位とBC の単位を割り当てる必要があります。各道路には最大で 100 単位を割り当てることができるため、 となります。AB エージェントが AB の 30/21 単位を取得し、BC エージェントが BC の 30/21 単位を取得し、AC エージェントが両方の道路の 30/21 単位を取得する分割は、各エージェントが自分の取り分と定数バンドル の間で無差別であるため、平等主義と同等です。また、各エージェントの正規化された効用が 30/21 であるため、公平な分割でもあります。ただし、この分割はまだ PE ではありません。AB の 100 単位は割り当てられますが、BC の 600/7 単位しか割り当てられません。${\displaystyle r>1}$${\displaystyle 40r+30r}$${\displaystyle 30r+30r}$${\displaystyle r\leq 100/70=30/21\approx 1.43}$${\displaystyle (x=30/21,y=30/21)}$
• BC の残りの単位を BC エージェントに与えることで、上記の分割を PE にすることができます。これにより、他のエージェントに害を与えることなく、エージェントの効用が に向上します。結果として得られる割り当てでは、各エージェントは自分の取り分と定数バンドル の間で無差別です。したがって、この分割も平等主義的に同等です。これですべての容量が割り当てられ、分割は PE になります。したがって、これが PEEEA です。結果として得られる割り当てはレキシミン最適であることに注意してください。つまり、最も貧しいエージェントの効用を最大化し、それに応じて、他のエージェントの効用も最大化します。${\displaystyle 40/21\approx 1.90}$${\displaystyle (x=30/21,y=40/21)}$

ここで、上記の例の次のバリエーションを検討してください。AB エージェントと BC エージェントの効用は上記のとおりですが、AC エージェントが x 単位の AB と y 単位の BC を取得する場合の効用は(x+y)/2 になります。各リソースを 1 単位持つことによる効用が 1 になるように正規化されていることに注意してください。

• 各エージェントに、ある に対してrの効用を与えるとします。この場合、の AB 単位とBC 単位を割り当てる必要があります。各財は 100 単位あるので、 となります。AB エージェントが AB の 60/39 単位、BC エージェントが BC の 60/39 単位、AC エージェントが AB の 50/39 単位と BC の 70/39 単位を取得する分割は、各エージェントが自分の取り分と定数バンドル の間で無差別であるため、EE です。また、すべてのエージェントの効用が 60/39 であるため、公平でもあります。これは PE でもあるため、PEEEA です。残念ながら、BC エージェントが AC エージェントを羨むため、EF ではありません。さらに、AC エージェントのバンドルは BC エージェントのバンドルを支配します。つまり、AC エージェントはすべてのリソースをより多く取得するため、非常に不公平に思えます。${\displaystyle r>1}$${\displaystyle 40r+30x}$${\displaystyle 30r+30y}$${\displaystyle x+y=2r}$${\displaystyle r\leq 200/130=60/39\approx 1.54}$${\displaystyle (x=60/39,y=60/39)}$
• 各リソース (r,r) が同量含まれる基準バンドルを取る代わりに、異なる量 (r,s) が含まれる基準バンドルを取ることができます。次に、の単位 AB と単位 BC を割り当てる必要があります。ここで、 です。各財が 100 単位あるため、 となります 。これを羨望のない条件と組み合わせると となります。AB エージェントが AB の 30/21 単位を取得し、BC エージェントが BC の 35/21 単位を取得し、AC エージェントが AB の 30/21 単位と BC の 35/21 単位を取得する分割は、各エージェントが自分の取り分と定数バンドル の間で無差別であるため、EE です。これは PE でもあるため、PEEEA です。これは EF でもあるため、PEEFA でもあります。ただし、これは公平ではありません。AB エージェントの相対的な効用は、BC エージェントは、AC エージェントは です。${\displaystyle 40r+30x}$${\displaystyle 30s+30y}$${\displaystyle x+y=r+s}$${\displaystyle 70r+60s\leq 200}$${\displaystyle r=100/70=30/21\approx 1.43,s=100/60=35/21\approx 1.67}$${\displaystyle (x=30/21,y=35/21)}$${\displaystyle 30/21\approx 1.43}$${\displaystyle 35/21\approx 1.67}$${\displaystyle 32.5/21\approx 1.54}$

要約すると、この例では、平等主義的等価性の重要性を信じる分割者は、公平性と嫉妬のなさのどちらかを選択しなければなりません。

エージェントが2人いる場合、PEEE割り当ての集合にはPEEF割り当ての集合が含まれます。PEEEAの利点は、PEEFAが存在しない場合でもPEEEAが存在することです。^[1]

しかし、3人以上のエージェントがいる場合、EEとEFの両方を満たすPE配分の集合は空になる可能性がある。これは、均質な分割可能な資源を持つ交換経済 ^[5] と、分割不可能な経済の両方に当てはまる。 ^[6]

参照バンドルに各財の一定割合が含まれる特別なケースでは、PEEEAルールはより望ましい特性を持つ：^{[4] ：248–251}

• 比例性: 各エージェントは、自分の取り分が各リソースを含むバンドルと少なくとも同じくらい良いと信じています。${\displaystyle 1/n}$
• 人口の単調性: エージェントが現場を離れ、同じルールに従ってリソースが再分割されると、残りの各エージェントは弱く有利になります。

しかし、他にもいくつか望ましい特性が欠けています。

• 羨望のなさ: すべてのエージェントが自分のバンドルが同じ参照バンドルと同等であると信じていても、別のバンドルが自分のバンドルよりも価値があると信じている可能性があります。
• リソースの単調性: 割り当て可能なリソースが増え、そのリソースが同じルールに従って再分割されると、一部のエージェントの状況が悪化する可能性があります。

いくつかの状況では、PEEEAルールはカライ・スモロジンスキー交渉解決策と同等である。^{[4] : 275}

• 平等主義ルール- 一般的な社会的選択ルール。
• 平等なケーキカットと公平なケーキカット- 異質なリソースを分割するという文脈では同様の基準です。