自動詞のサイコロ

一組のサイコロが非推移的（または非推移的）であるとは、X1、X2、X3 ...というX>2 個のサイコロを含み、 X1 の目がX2 の目よりも高い目になる確率が半分以上であり、X2 の目がX3などよりも高い目になる確率が半分以上であるが、X1 の目がXn の目よりも高い目になる確率が半分以上ではないという特性がある場合です。言い換えると、サイコロの一組は、その要素に対する二項関係（X の目がY の目よりも高い目になる確率が半分以上）が推移的でない場合に非推移的です。もっと簡単に言えば、X1 は通常X2に勝ち、X2 は通常X3に勝ちますが、X1 は通常Xnに勝ちません。

セット内の各サイコロに対して、半分以上の確率でそれよりも高い数字が出る別のサイコロが存在するという、さらに強い特性を持つサイコロのセットを見つけることも可能である。これは、「A は通常Cに勝たない」というだけでなく、「C は通常A に勝つ」という点が異なっている。このようなサイコロのセットを使用すると、自動詞のサイコロに慣れていない人が予想しないような偏りのあるゲームを発明することができる (例を参照)。^{[1] [2] [3] [4]}

次のサイコロのセットを考えてみましょう。

• サイコロAの面は2、2、4、4、9、9です。
• サイコロBの面は1、1、6、6、8、8です。
• サイコロCの面は3、3、5、5、7、7です。

A がBよりも高い数字を出す確率、 BがCよりも高い数字を出す確率、 C がAよりも高い数字を出す確率はすべて⁠5/9⁠なので、このサイコロのセットは自動詞です。実際、このセットにはさらに強い特性があり、セット内の各サイコロに対して、半分以上の確率でそれよりも高い数字が出る別のサイコロがあります。

ここで、サイコロのセットを使ってプレイする次のゲームを考えてみましょう。

1. 最初のプレイヤーはセットからサイコロを 1 つ選びます。
2. 2 番目のプレイヤーは残りのサイコロから 1 つのサイコロを選択します。
3. 両方のプレイヤーがサイコロを振り、より高い数字を出したプレイヤーが勝ちます。

このゲームを推移的なサイコロのセットでプレイする場合、最初のプレイヤーは常に、半分以上の確率で他のサイコロに負けないサイコロを見つけることができるため、公平であるか、最初のプレイヤーに有利に偏っているかのどちらかです。ただし、上記のサイコロのセットでプレイする場合、2 番目のプレイヤーは常に、最初のプレイヤーのサイコロに勝つ確率が高いサイコロを見つけることができるため、ゲームは 2 番目のプレイヤーに有利に偏っています。5/9⁠ . 次の表は、3 組のサイコロすべてで起こり得るすべての結果を示しています。

重み付けされたサイコロ、つまり各面の確率の重みが不均等なサイコロを許容する場合、3つのサイコロを交互に並べることで、サイクル内で各サイコロが次のサイコロに勝つ確率よりもさらに大きな確率を達成できます。最大の確率は黄金比の1/1です。^[5]${\displaystyle {\frac {5}{9}}\approx 0.56}$${\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}\approx 0.62}$

エフロンダイスは、ブラッドリー・エフロンが発明した4つの自動詞ダイスのセットである。^[4]

4 つのサイコロ A、B、C、D の 6 つの面には、次の数字が記されています。

• A: 4、4、4、4、0、0
• B: 3、3、3、3、3、3、3
• C: 6、6、2、2、2、2
• D: 5、5、5、1、1、1

各サイコロは、リスト内の前のサイコロにラップアラウンドで負けます。その確率は⁠2/3⁠ . C は A に勝つ確率⁠5/9⁠、そしてBとDはお互いに勝つ可能性が等しい。^[4]各プレイヤーがエフロンのサイコロを1セット持っている場合、1人のプレイヤーにとって最適な戦略の連続体が存在し、その中で彼らは次の確率でサイコロを選びます。ここで0 ≤ x ≤ ⁠3/7⁠ : ^[4]

P(Aを選択) = x

P(Bを選択) = ⁠1/2⁠ - ⁠5/6⁠ x

P(Cを選択) = x

P(Dを選択) = ⁠1/2⁠ - ⁠7/6⁠ x

ミウィンのダイスは、1975 年に物理学者のマイケル・ウィンケルマンによって発明されました。

3つのサイコロIII、IV、Vのセットを考えてみましょう。

• サイコロIIIの面は1、2、5、6、7、9である。
• サイコロIVの面は1、3、4、5、8、9である。
• サイコロVの面は2、3、4、6、7、8である。

それから：

• III が IV よりも高い数字を出す確率は⁠17/36⁠
• IVがVよりも高い数字を出す確率は⁠17/36⁠
• VがIIIよりも高い数字を出す確率は⁠17/36⁠

ウォーレン・バフェットは自動詞サイコロのファンとして知られています。著書『フォーチュンの公式: カジノやウォール街に勝る科学的賭博システムの知られざる物語』には、彼とエドワード・ソープの議論が記されています。バフェットとソープは自動詞サイコロに対する共通の関心について語りました。「これは数学的な珍品であり、確率に関するほとんどの人々の考えを混乱させる一種の『トリック』サイコロです。」

バフェットはかつて、自動詞のサイコロを使ってビル・ゲイツとサイコロゲームで勝とうとしたことがある。「バフ​​ェットは、2人がそれぞれサイコロを1つ選び、残りの2つを捨てることを提案した。2人は、どちらがより高い数字を最も多く出せるかを賭けた。バフェットは、ゲイツに最初にサイコロを選ばせようと提案した。この提案はすぐにゲイツの好奇心をかき立てた。ゲイツはサイコロを調べたいと言い、その後バフェットに最初に選ぶよう要求した。」^[6]

2010年、ウォール・ストリート・ジャーナル誌は、バフェットのブリッジパートナーであるシャロン・オズバーグの言葉を引用し、彼女が20年前に初めて彼のオフィスを訪れた際、彼は彼女を騙して勝てない自動詞のサイコロを使ったゲームに参加させ、「とても面白いと思った」と語った。^[7]

複数の相手と競争できる自動詞ダイスのバリエーションを導入した人は数多くいます。

オスカー・ファン・デヴェンターは、7つのサイコロ（すべての面が確率⁠1/6⁠）は以下の通りである：^[8]

• 答え: 2、0、2、14、14、17、17
• B: 7、0 7、10、10、16、16
• C: 5、0 5、13、13、15、15
• D : 3、0 3、0 9、0 9、21、21​
• E : 1、0、1、12、12、20、20
• F : 6、0 6、0 8、0 8、19、19​
• G : 4、0、4、11、11、18、18

A は {B,C,E} に勝ち、B は {C,D,F} に勝ち、C は {D,E,G} に勝ち、D は {A,E,F} に勝ち、E は {B,F,G} に勝ち、F は {A,C,G} に勝ち、G は {A,B,D} に勝つことが証明できます。したがって、任意に選んだ 2 つのサイコロのうち、その両方に勝つ 3 つ目のサイコロが存在します。つまり、

• G は {A,B} に勝ちます。F は {A,C} に勝ちます。G は {A,D} に勝ちます。D は {A,E} に勝ちます。D は {A,F} に勝ちます。F は {A,G} に勝ちます。
• A は {B,C} に勝ちます。G は {B,D} に勝ちます。A は {B,E} に勝ちます。E は {B,F} に勝ちます。E は {B,G} に勝ちます。
• B は {C,D} に勝ちます。A は {C,E} に勝ちます。B は {C,F} に勝ちます。F は {C,G} に勝ちます。
• C は {D,E} に勝ちます。B は {D,F} に勝ちます。C は {D,G} に勝ちます。
• D は {E,F} に勝ちます。C は {E,G} に勝ちます。
• Eは{F,G}に勝ちます。

2 人の対戦相手が何を選択しても、3 人目のプレイヤーは残りのサイコロのうち、両方の対戦相手のサイコロに勝つサイコロを 1 つ見つけます。

ジェームズ・グライム博士は次のような5つのサイコロのセットを発見しました: ^{[9] [10]}

• 答え: 2、2、2、7、7、7
• B: 1、1、6、6、6、6
• C: 0、5、5、5、5、5、5
• D: 4、4、4、4、4、9
• E: 3、3、3、3、8、8

1 セットの Grime ダイスを使用してゲームをプレイすると、次のことが確認できます。

• A が B に勝ち、B が C に勝ち、C が D に勝ち、E が A に勝つ (最初のチェーン)。
• A は C に勝ち、E は B に勝ち、D は A に勝ちます (2 番目のチェーン)。

ただし、ゲームを 2 つのセットでプレイする場合、最初のチェーンは D が C に勝つという点を除いて同じままですが、2 番目のチェーンは逆になります (つまり、A が D に勝ち、B が E に勝ち、C が A に勝ちます)。その結果、2 人の対戦相手がどのサイコロを選択しても、3 人目のプレーヤーは常に残りのサイコロの 1 つの中から両方に勝つサイコロを見つけることができます (プレーヤーが 1 つのサイコロのオプションと 2 つのサイコロのオプションのどちらかを選択できる場合)。

4人用セットはまだ発見されていないが、そのようなセットには少なくとも19個のサイコロが必要であることが証明されている。^{[9] [11]}

四面体は、4 つの結果が可能なサイコロとして使用できます。

セット1

• 答え: 1、4、7、7
• B: 2、6、6、6
• C: 3、5、5、8

P(A > B) = P(B > C) = P(C > A) = ⁠9/16⁠

次の表は、すべての可能な結果を​​示しています。

「A対B」では、16件中9件でAが勝ちます。

「B対C」では、16件中9件でBが勝ちます。

「C対A」では、16件中9件でCが勝ちます。

セット2

• 答え: 3、3、3、6
• B: 2、2、5、5
• 1、4、4、4

P(A > B) = P(B > C) = ⁠10/16⁠、P(C > A) = 9/16

自動詞の 6 面サイコロと同様に、自動詞の12 面サイコロとして機能する 12 面体もあります。各サイコロの点の合計は 114 になります。各 12 面体には重複する数字はありません。

Miwin の十二面体 (セット 1) は、35:34 の比率で互いに周期的に勝ちます。

miwin の十二面体 (セット 2) は、71:67 の比率で互いに周期的に勝ちます。

セット1:

• 
  DIII
• 
  DIV
• 
  デイビッド

セット2:

• 
  D6 6月
• 
  D VII
• 
  D8

重複する数字がなく、すべての数字が素数であるような、非推移的十二面体の集合を構築することも可能です。ミウィンの非推移的素数十二面体は、35:34 の比率で互いに周期的に勝ちます。

セット 1: 数字を合計すると 564 になります。

• 
  PD11
• 
  PD12
• 
  PD13

セット 2: 数字を合計すると 468 になります。

• 
  PD1
• 
  PD2 2010年11月
• 
  PD3

面を持つ非推移的なサイコロの集合の一般化は可能である^[12]。 が与えられたとき、サイコロの集合を、集合内の各値を取るランダム変数として定義する 。${\displaystyle N}$${\displaystyle N\geq 3}$${\displaystyle \{D_{n}\}_{n=1}^{N}}$${\displaystyle \{v_{n,j}\}_{j=1}^{J}}$

${\displaystyle \mathbb {P} \left[D_{n}=v_{n,j}\right]={\frac {1}{J}}}$、

つまり、公平なサイコロの面を持つことになります。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle J}$

自動詞のサイコロのセットを得るには、式の 値を設定するだけで十分です。${\displaystyle v_{n,j}}$${\displaystyle n,j=1,2,\ldots ,N}$

${\displaystyle v_{n,j}=(j-1)N+(n-j){\text{mod}}(N)+1}$、

公平な面 のサイコロのセットを入手する${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

この式を使用すると、

${\displaystyle \mathbb {P} \left[D_{m}<D_{n}\right]={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2N}}-{\frac {(n-m){\text{mod}}(N)}{N^{2}}}}$、

つまり、各サイコロはセット内のサイコロに勝ちます。 ${\displaystyle \lfloor N/2-1\rfloor }$

この場合に得られるサイコロのセットは、このページの最初の例と同等ですが、重複する面が削除されています。 であることが確認できます。 ${\displaystyle D3>D_{2},D_{2}>D_{1}\ {\text{and}}\ D_{1}>D_{3}}$

再度、次のことが確認できます。 ${\displaystyle D_{4}>D_{3},D3>D_{2},D_{2}>D_{1}\ {\text{and}}\ D_{1}>D_{4}}$

また。さらに。 ${\displaystyle D_{6}>D_{5},D_{5}>D_{4},D_{4}>D_{3},D_{3}>D_{2},D_{2}>D_{1}\ {\text{and}}\ D_{1}>D_{6}}$${\displaystyle D_{6}>\{D_{5},D_{4}\},D_{5}>\{D_{4},D_{3}\},D_{4}>\{D_{3},D_{2}\},D_{3}>\{D_{2},D_{1}\},D_{2}>\{D_{1},D_{6}\}\ {\text{and}}\ D_{1}>\{D_{6},D_{5}\}}$

• ブロットゲーム
• フライヴァルドのアルゴリズム
• 先攻サイコロ
• 非推移的ゲーム
• じゃんけん
• コンドルセの投票パラドックス

• MathWorldページ
• アイヴァース・ピーターソンの MathTrek - トリッキーダイス再考 (2002 年 4 月 15 日)
• ジム・ロイのパズルページ
• Miwin公式サイト（ドイツ語）
• オープンソースの非推移的ダイスファインダー
• ジェームズ・グライムの非推移的ダイス
• 数学ギア
• Conrey, B., Gabbard, J., Grant, K., Liu, A., & Morrison, K. (2016). 自動詞ダイス。Mathematics Magazine, 89(2), 133-143. アメリカ数学協会より授与^{[ permanent dead link ‍ ]}
• ティモシー・ガワーズの自動詞サイコロに関するプロジェクト
• Klarreich, Erica (2023-01-19). 「数学者はサイコロを振ってじゃんけんをする」. Quanta Magazine .
• アドリアン・ムニョス・ペレラのサイト'