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コロネル・ブロットゲームは、2人で行う定和ゲームの一種で、プレイヤー（将校）は限られた資源を複数の対象（戦場）に同時に配分する任務を負います。このゲームの古典的なバージョンでは、ある戦場に最も多くの資源を投入したプレイヤーがその戦場を獲得し、その獲得額（または報酬）は獲得した戦場の総数に等しくなります。
このゲームは、1921 年にエミール・ボレル[ 1 ]によって初めて提案されました。1938年にボレルとヴィルは特定の最適戦略 (「ディスク」解) を発表しました。[ 2 ]このゲームは第二次世界大戦後、オペレーションズ・リサーチの学者によって研究され、ゲーム理論の古典となりました。[ 3 ]グロスとワグナーの 1950 年の[ 4 ]研究覚書では、ボレルの最適戦略が述べられ、架空のブロット大佐と敵の名前が付けられました。 3 つ以上の戦場の場合、純粋戦略の空間は多次元 (3 つの戦場では 2 次元) であり、混合戦略は連続集合上の確率分布となります。 このゲームは、最適戦略を明示的に見つけることができるこの種の非自明なゲームの珍しい例です。
軍事戦略への応用に加えて、ブロット大佐ゲームは政治戦略（政治的な戦場における資源配分）、ネットワーク防御、研究開発特許競争、戦略的な人材採用決定にも応用できます。予算上限が設定されている2つのスポーツチーム（または、使わなければ失効する助成金を持つ2つの経済学部）が同じ候補者グループを追っている場合を考えてみましょう。彼らは、多くの控えめなオファーを出すか、候補者のサブセットを積極的に追求するかを決定しなければなりません。
ブロットゲームの一例として、2人のプレイヤーがそれぞれ3つの正の整数を非減少順に書き出し、それらの合計があらかじめ指定された数Sになるようにするゲームを考えてみましょう。その後、2人のプレイヤーは互いに自分の書いたものを見せ合い、対応する数を比較します。相手の対応する数よりも2つ大きい数を書いたプレイヤーがゲームに勝ちます。
S = 6 の場合、可能な数値の選択肢は (2, 2, 2)、(1, 2, 3)、(1, 1, 4) の 3 つだけです。次のことが容易にわかります。
したがって、最適戦略は (2, 2, 2) であり、他のどの戦略に対しても損益分岐点を超えることはなく、他の 1 つの戦略に勝つことができる。ただし、ナッシュ均衡は複数存在する。両方のプレイヤーが戦略 (2, 2, 2) または (1, 2, 3) を選択した場合、どちらも戦略を変更しても相手に勝つことはできないため、そのような戦略のペアはすべてナッシュ均衡となる。
Sが大きくなるにつれて、ゲームの分析は次第に難しくなります。S = 12の場合、(2, 4, 6)が最適戦略であることが示されますが、S > 12の場合、決定論的戦略は最適ではなくなります。S = 13の場合、(3, 5, 5)、(3, 3, 7)、(1, 5, 7)をそれぞれ確率1/3で選択することが、最適な確率的戦略であることが示されます。
ボレルのゲームは、Sが非常に大きい場合、上記の例と似ていますが、プレイヤーは整数に限定されません。したがって、プレイヤーは無限の数の純粋戦略、つまり連続的な戦略を持つことができます。
この概念は、孫薊（田忌赛馬）が3つの異なるレースが同時に行われている戦車競走を観戦した際の話にも表れています。各レースでは、各陣営が1つの戦車チームを各レースに投入することができ、それぞれが1、2、3（3が最も速い戦車、1が最も遅い戦車）という戦略を用いて3つのレースの間に戦車を配置し、各レースで接戦となり、勝者が確実に決まることはほとんどないという状況を作り出しました。孫薊は、どうすれば勝てるかと尋ねられた戦車の持ち主に、配置を2、3、1に変更するように助言しました。最速の戦車（3の戦車）とのレースでは確実に負けるだろうが、他のレースでは、3の戦車が2の戦車に、2の戦車が1の戦車に簡単に勝つので、すべて勝つことができるだろう、と孫薊は助言しました。
2 つの戦場というより単純なケースでは、Macdonell と Mastronardi 2015 は、Colonel Blotto ゲームの最も単純な標準バージョンに対するすべての Nash 均衡の完全な特徴付けを初めて提供しました。すべての Nash 均衡戦略を特徴付けるためのグラフィカル アルゴリズムを含むこのソリューションには、これまで特定されていなかった Nash 均衡戦略が含まれており、合理的なプレイヤーが決して期待すべきでない行動を特定するのにも役立ちます。このバージョンのゲームにおける Nash 均衡戦略は、2 変量確率分布のセットです。これは、各プレイヤーの可能なリソース配分のセットに対する分布であり、混合 Nash 均衡と呼ばれることがよくあります (より単純な例として、Paper-Rock-Scissors や Matching Pennies に見られます)。
MacdonellとMastronardiによる2015年のナッシュ均衡戦略を特定するための解法、証明、およびグラフィカルアルゴリズムは、ブロット大佐が戦場を異なる評価で持っている場合、2つの戦場でリソースの有効性が異なる場合（たとえば、一方の戦場に水上上陸が含まれ、ブロット大佐のリソースが兵士ではなく海兵隊である場合）など、ゲームの一般化されたバージョンにも適用され、3つ以上の戦場を持つゲームのバージョンに関する洞察も提供します。
2人のプレイヤー（ブロット大佐と敵）と、価値が等しい2つの戦場を考えます。両プレイヤーは資源配分前に互いの総資源量を把握しており、同時に資源配分の決定を下さなければなりません。ブロット大佐はより多くの資源を持つ将校（彼の資源量は1と定義できる）であり、敵は1未満の資源量を持つと仮定されることがよくあります。ナッシュ均衡における資源配分戦略と利得は、この資源量の関係に依存します。
このゲームは、選挙競争の比喩としてよく用いられ、2つの政党が一定数の有権者の支持を得るために資金や資源を投入する。[ 5 ] [ 6 ]各有権者は、どちらかの政党が勝利できる「戦場」である。同じゲームは、入札者が同時に入札しなければならないオークション理論にも応用されている。[ 7 ]
オリジナルのゲームのいくつかのバリエーションは、ジャン＝フランソワ・ラスリエ[ 8 ]、ブライアン・ロバーソン[ 9 ]、ドミトリー・クヴァソフ[ 10 ]によって解決されている。