制約付き一般逆行列

線型代数学では、解が特定の部分空間内にあるという追加の制約を伴う線型方程式の連立を解くことによって、制約付き一般化逆行列が得られます。また、この問題は制約付き線型方程式の連立によって記述されるとも言われます。

多くの実用的な問題では、線形方程式の 解は${\displaystyle x}$

${\displaystyle Ax=b\qquad ({\text{A\in \mathbb {R} ^{m\times n}{\text{、b\in \mathbb {R} ^{m} が与えられている場合)}$

は、 の特定の線形部分 空間内にある場合にのみ許容されます。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

以下では、への直交射影を と表記する 。 制約付き線形方程式系 ${\displaystyle L}$${\displaystyle P_{L}}$

${\displaystyle Ax=b\qquad x\in L}$

制約のない方程式系が

${\displaystyle (AP_{L})x=b\qquad x\in \mathbb {R} ^{n}}$

は解けます。 部分空間が の適切な部分空間である場合、制約付き問題のシステム行列が可逆であっても、制約なし問題の行列は特異になる可能性があります (その場合、)。つまり、制約付き問題の解には一般逆行列を使用する必要があるということです。したがって、 の一般逆行列はの-制約付き擬似逆行列とも呼ばれます。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle (AP_{L})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle m=n}$${\displaystyle (AP_{L})}$${\displaystyle L}$${\displaystyle A}$

制約付き問題の解法に使用できる擬似逆行列の例としては、に制約されたのボット・ダフィン逆行列があり、これは次の式で定義されます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle A_{L}^{(-1)}:=P_{L}(AP_{L}+P_{L^{\perp }})^{-1},}$

右側に逆が存在する場合。