宝くじのパラドックス

宝くじのパラドックス^[1]は、ヘンリー・E・カイバーグ・ジュニアが、 1,000枚のチケットのうち1枚だけが当たる公平な宝くじを考えたことから生まれました。宝くじの実施についてこれだけのことが分かっているのであれば、何らかのチケットが当たると受け入れるのが合理的です。

ある出来事が「非常に起こりやすい」と考えられるのは、その出来事が起こる確率が 0.99 より大きい場合だけだと仮定します。この根拠から、宝くじのチケット 1 は当たらないという命題を受け入れることが合理的であると推定されます。宝くじは公平なので、チケット 2 も当たらないということを受け入れることが合理的です。実際、宝くじの個々のチケットiについて、そのチケットi は当たらないということを受け入れることが合理的です。しかし、チケット 1 が当たらないということを受け入れ、チケット 2 が当たらないということを受け入れ、そしてチケット 1,000 が当たらないということを受け入れるまで続けると、どのチケットも当たらないということを受け入れることが合理的になり、それは、1 つのチケットが当たり、どのチケットも当たらないという矛盾した命題を受け入れることが合理的になることを意味します。

宝くじのパラドックスは、合理的な受容を支配する 3 つの魅力的な原則が矛盾につながることを示すために設計されました。

• 真実である可能性が非常に高い命題を受け入れることは合理的です。
• 矛盾していることが分かっており、全体として矛盾している命題を受け入れることは非合理的です。
• 命題 A を受け入れることが合理的であり、別の命題 A' を受け入れることが合理的である場合、A と A' を受け入れることは合理的です。

このパラドックスは、知識表現と不確実な推論の基礎において、誤りやすさ、修正可能な信念、論理的帰結の関係、信念の固定における一貫性、統計的証拠、確率の役割、論理的および確率的一貫性が合理的信念に及ぼす正確な規範的力など、いくつかの問題を提起するため、引き続き関心を集めています。

宝くじのパラドックスに関する最初の発表は、1961年のキバーグの著書「確率と合理的信念の論理」に見られるが、パラドックスの最初の定式化は、1959年の記号論理学会の会議と1960年の科学史および科学哲学に関する国際会議で発表された論文「確率とランダム性」に見られるが、この論文は1963年にTheoria誌に掲載された。この論文は、キバーグ（1987年）に再録されている。

宝くじのパラドックスは認識論の中心的な話題となっており、このパズルを取り巻く膨大な文献がその本来の目的を不明瞭にしかねない。^{[誰によると? ]} Kyburg は、確率に関する彼の革新的なアイデアの特徴を伝えるためにこの思考実験を提案した(Kyburg 1961、Kyburg と Teng 2001)。そのアイデアは、上記の最初の 2 つの原則を真剣に受け止め、最後の原則を拒否することを中心に構築されている。Kyburg にとって、宝くじのパラドックスは実際にはパラドックスではなく、彼の解決策は集約を制限することである。

それでも、正統派の確率論者にとっては、第 2 原理と第 3 原理が主要なので、第 1 原理は拒否されます。ここでも、パラドックスは実際にはなく、誤りであるという主張が見られます。解決策は、第 1 原理を拒否し、それとともに合理的受容の考えを拒否することです。確率に関する基本的な知識を持つ人なら誰でも、第 1 原理を拒否する必要があります。つまり、非常に起こりそうなイベントの場合、そのイベントに関する合理的信念は、それが真実であるということではなく、非常に起こりそうなことであるということです。

認識論の文献のほとんどは、正統的な観点からパズルにアプローチし、そうすることで直面する特定の結果に取り組んでいます。そのため、くじは懐疑論 (例: Klein 1981) や知識の主張を主張するための条件 (例: JP Hawthorne 2004) の議論に関連付けられています。くじの思考実験の特定の特徴に基づいたパズルの解決策の提案もよく見られます (例: Pollock 1986)。これにより、くじと、David Makinsonの序文のパラドックスなどの他の認識論的パラドックスや、異なる構造を持つ「くじ」との比較が促されます。この戦略は、(Kyburg 1997) と、広範な参考文献を含む (Wheeler 2007) で取り上げられています。

哲学的論理学者や AI 研究者は、3 つの原則の弱められたバージョンを調和させることに興味を持つ傾向があり、これを行う方法は多数あります。たとえば、ジム・ホーソーンとリュック・ボーベンス (1999) の信念の論理、グレゴリー・ウィーラー (2006) の 1 単調容量の使用、ブライソン・ブラウン (1999) の保存主義的準無矛盾論理の適用、イゴール・ドゥーベンとティモシー・ウィリアムソン (2006) の累積非単調論理への訴え、ホラシオ・アルロ・コスタ (2007) の最小モデル (古典的) 様相論理の使用、ジョー・ハルパーン (2003) の一階確率の使用などです。

最後に、科学哲学者、意思決定科学者、統計学者は、宝くじのパラドックスを、不確実な情報を集約するための原理的な方法を構築するときに直面する複雑さの初期の例として見る傾向があります。この不確実な情報は、現在では独自の分野となっており、専門誌「Information Fusion」が発行され、一般分野の雑誌にも継続的に寄稿されています。

• パラドックスのリスト

• Arlo-Costa, H. (2005). 「非随伴的推論と古典的様相」、The Journal of Philosophical Logic、34、581–605。
• Brown, B. (1999). 「付加と凝集」、Nous、33(2)、273–283。
• DouvenとWilliamson (2006)。「宝くじパラドックスの一般化」、英国科学哲学ジャーナル、57(4)、pp.755-779。
• Halpern, J. (2003).不確実性についての推論、マサチューセッツ州ケンブリッジ: MIT 出版。
• ホーソーン、J. およびボーベンス、L. (1999)。「序文、宝くじ、そして信念の論理」、マインド、108: 241–264。
• ホーソーン、JP (2004)。『知識と宝くじ』、ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。
• クライン、P. (1981)。『確実性：懐疑論の反駁』、ミネアポリス、ミネソタ州：ミネソタ大学出版局。
• Kroedel, T. (2012). 「宝くじのパラドックス、認識論的正当化および許容性」、Analysis、72(1)、57-60。
• Kyburg, HE (1961).確率と合理的信念の論理、ミドルタウン、コネチカット州: ウェズリアン大学出版局。
• Kyburg, HE (1983).認識論と推論、ミネアポリス、ミネソタ州: ミネソタ大学出版局。
• Kyburg, HE (1997). 「随伴法則と合理的推論」、Journal of Philosophy、 94(3)、109–125。
• Kyburg, HE、Teng, CM. (2001) 『不確実な推論』、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。
• ルイス、D. (1996)「つかみどころのない知識」、 オーストラレーシア哲学ジャーナル、74、pp.549-67。
• マキンソン、D.（1965）。「序文のパラドックス」、分析、25：205-207。
• ポロック、J. (1986)「序文のパラドックス」、科学哲学、53、pp. 246-258。
• スマリヤン、レイモンド(1978)。この本の名前は何ですか?プレンティス・ホール。p. 206。ISBN 0-13-955088-7。
• Wheeler, G. (2006). 「合理的受容と連言的/分離的吸収」、論理、言語、情報ジャーナル、15(1-2): 49–53。
• Wheeler, G. (2007) 「宝くじのパラドックスのレビュー」、William Harper および Gregory Wheeler (編) 『確率と推論: Henry E. Kyburg, Jr. を称えるエッセイ』、 King's College Publications、pp. 1-31。

• 非単調条件論理（および宝くじ論理）に関するジェームズ・ホーソーンの論文へのリンク