歪み（数学）

数学において、歪みは、ユークリッド平面からそれ自身への関数が円を楕円に歪ませる量の尺度である。関数の歪みが1に等しい場合、それは共形である。歪みが有界で関数が同相写像である場合、それは準共形である。平面の関数ƒの歪みは次のように与えられる。

${\displaystyle H(z,f)=\limsup _{r\to 0}{\frac {\max _{|h|=r}|f(z+h)-f(z)|}{\min _{|h|=r}|f(z+h)-f(z)|}}}$

これは、 zを中心とする小さな円にƒを適用することによって生成される楕円の極限離心率である 。この幾何学的定義は扱いが非常に難しい場合が多く、必要な解析的特徴は次の定義に外挿することができる。ƒがソボレフ空間W内にある場合、平面内の開領域から平面への写像ƒ : Ω →  R2は、点x∈Ωで 有限 の^歪みを持つ。^1,1
_場所(Ω,  R ² )、ヤコビ行列式J( x ,ƒ) は局所的に積分可能であり、Ω では符号が変化しない。また、測定可能な関数K ( x ) ≥ 1 が存在し、

${\displaystyle |Df(x)|^{2}\leq K(x)|J(x,f)|}$

ほぼどこでも当てはまります。ここでDfはƒ の弱微分であり、| Df |はヒルベルト・シュミットノルムです。

高次元ユークリッド空間 R ⁿ上の関数の場合、対称テンソルの主軸が2つ以上あるため、歪みの尺度はより多く存在する。点ごとの情報は歪みテンソルに含まれる。

${\displaystyle G(x,f)={\begin{cases}|J(x,f)|^{-2/n}D^{T}f(x)Df(x)&{\text{if }}J(x,f)\not =0\\I&{\text{if }}J(x,f)=0.\end{cases}}}$

外側の歪みK _Oと内側の歪みK _Iはレイリー商によって定義される。

${\displaystyle K_{O}(x)=\sup _{\xi \not =0}{\frac {\langle G(x)\xi ,\xi \rangle ^{n/2}}{|\xi |^{n}}},\quad K_{I}(x)=\sup _{\xi \not =0}{\frac {\langle G^{-1}(x)\xi ,\xi \ラングル^{n/2}}{|\xi |^{n}}}.}$

外側の歪みは、2次元の場合と同様の不等式によって特徴付けられる。ΩがR ⁿの開集合である場合、関数ƒ ∈ W^1,1
_場所(Ω, R ⁿ )が有限の歪みを持つとは、そのヤコビアンが局所的に積分可能で符号が変化しない場合、および測定可能な関数K _O (外部歪み) が存在し、

${\displaystyle |Df(x)|^{n}\leq K_{O}(x)|J(x,f)|}$

ほぼどこでも。

• 変形（力学）

• イワニエツ、タデウシュ、マーティン、ガヴェン（2001）、幾何関数論と非線形解析、オックスフォード数学モノグラフ、クラレンドン・プレス、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-850929-5、MR  1859913。
• Reshetnyak, Yu. G. (1989)、「境界付き歪みによる空間マッピング」、数学モノグラフの翻訳、第73巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学協会、ISBN 978-0-8218-4526-4、MR  0994644。