微分ゲーム

ゲーム理論において、微分ゲームは動的システムの文脈における衝突のモデル化と分析に関連する一連の問題である。より具体的には、状態変数は微分方程式に従って時間の経過とともに変化する。初期の分析は軍事的利益を反映し、正反対の目標を持つ2つの行為者（追跡者と逃亡者）を考慮した。最近の分析は工学的または経済的考慮を反映している。^{[1] [2]}

微分ゲームは最適制御問題と密接に関係しています。最適制御問題では、最適化されるべき制御と基準が 1 つずつあります。微分ゲーム理論では、これを 2 つの制御と 2 つの基準 (各プレイヤーに 1 つずつ)に一般化します。 ^[3]各プレイヤーは、目標を達成するためにシステムの状態を制御しようとします。システムはすべてのプレイヤーの入力に応答します。 ${\displaystyle u(t)}$${\displaystyle u_{1}(t),u_{2}(t)}$

競争の研究において、微分ゲームは1925年のチャールズ・F・ルースによる論文以来採用されてきました。^[4]微分ゲームの正式な理論を最初に研究したのはルーファス・アイザックスであり、1965年に教科書として出版しました。 ^[5]最初に分析されたゲームの1つは「殺人運転手ゲーム」でした。

ランダムな時間軸を持つゲームは、微分ゲームの特殊なケースである。^[6]このようなゲームでは、終了時間は与えられた確率分布関数を持つランダム変数である。したがって、プレイヤーはコスト関数の数学的期待値を最大化する。修正された最適化問題は、無限の時間間隔にわたる割引微分ゲームとして再定式化できることが示された^{[7] [8]}

微分ゲームは経済学に応用されている。最近の発展には、微分ゲームへの確率性の追加や確率フィードバックナッシュ均衡（SFNE）の導出などがある。最近の例としては、レオンとフアン（2010）による資本主義の確率微分ゲームがある。 ^[9] 2016年、ユーリー・サンニコフは、確率計算法を用いた連続時間動的ゲームの分析への貢献により、アメリカ経済学会からジョン・ベイツ・クラーク賞を受賞した。[ ^{10] [11]}

さらに、微分ゲームはミサイル誘導^{[12] [13]}や自律システム^[14]にも応用されています。

追跡・回避微分ゲームの概要についてはPachterを参照のこと。^[15]

• ロトカ・ヴォルテラ方程式
• 平均場ゲーム理論

• ドックナー、エンゲルベルト、ヨルゲンセン、ステフェン、ロング、ンゴ・ヴァン、ゲルハルト（2001）、経済学と経営科学における微分ゲーム、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-63732-9
• ペトロシアン、レオン（1993）、微分追跡ゲーム、最適化シリーズ、第2巻、ワールドサイエンティフィックパブリッシャーズ、ISBN 978-981-02-0979-7

• Bressan, Alberto (2010 年 12 月 8 日)。「非協力微分ゲーム: チュートリアル」(PDF)。ペンシルベニア州立大学数学部。